2. Дербес туындылы бірінші ретті сызықты біртексіз теңдеулер

Дербес туындылары бар бірінші ретті сызықты біртексіз теңдеудің түрі (5)

(5) теңдеуі үшін Коши есебі (1) біртекті теңдеу үшін сияқты қойылады.

Теорема 3. (5) теңдеуі үшін Коши есебінің характеристикалық емес бастапқы бетінің x₀ нүктесінің кез келген ақырсыз аз маңайында жалғыз шешімі бар болады. Ол шешім мына формуламен анықталады

(6)

мұндағы g(x,t) – t уақытындағы теңдеулер шешімінің характеристикалар мәні (бастапқы беттегі g(x,.0)= х бастапқы шарттары бар ).

Бірінші ретті квазисызықты теңдеу деп мына теңдеуді айтамыз (7)

мұндағы - функциялар, (x,u) айнымалы облысында анықталады. Осы теңдеудің сызықты теңдеуден айырмашылығы, a_i және b коэффициенттер белгісіз функциядан тәуелді болуы мүмкін.

Квазисызықты теңдеулер үшін характеристикалық теңдеулер мына түрде болады

(8)

(7) квазисызықты теңдеулер үшін Коши есебі u=u(x) шешімін табудан құралады, берілген гипербеттегі n-1 өлшемділігі берілген функцияға оайналады. Бастапқы шарттары ( , ) x₀ -дан нүктесіндегі (7) квазисызықты теңдеу үшін характеристикалық емес деп аталады, егер векторы осы нүктесінде бетін жанамаса.

Теорема 4. (7) квазисызықты теңдеуінің x₀ нүктесінде характеристикалық емес бастапқы шарттар маңайында төңіректік жалғыз шешімі бар болады .

Егер (8) характеристикалық теңдеулердің n бірінші тәуелсіз интегралдары бар болса,

, i=1,2,…,n, (9)

онда (7) теңдеудің барлық шешімдері мына теңдікпен анықталады

мұндағы Ф – кез келген дифференциалданатын функция. (7) теңдеудің бастапқы шарттарын қанағаттандыратын u=u(x) шешімін табу үшін, мұндағы гипербет, келесі теңдеумен берілсе ,

онда мына теңдеулер жүйесінен

x₁,x₂,…,x_n,u жойып және F(C₁,C₂,…,C_n)=0 түрдің сәйкестігін аламыз.

Осыған C₁,C₂,…,C_n орнына (9) дың сол жақтарын қойсақ,

аламыз. u=u(x) теңдеудің бір шешімі ізделінді болып табылады.

Мысал 3. u(x,1)=x шартын қанағаттандыратын теңдеудің шешімін табу керек

Шешім. Характеристикалық теңдеуді құрастырамыз:

Олардың шешімі түрде болады. Осы шешімдердің арасынан шешімді таңдаймыз егер, t=0 – дегі шешімі бастапқы бетте жатса, яғни y=1 тізуінде. осындай шешім болады. (6) формулаға сәйкес, u(x,y) ізделетін шешім қатынасын қанағаттандырса. Енді қойсақ, u(xy,y)=x+ln y немесе аламыз.

Мысал 4. Коши есебінің шешімін табу

.

Шешім. Характеристикалық теңдеунің түрі мынандай

теңдеулердің шешімін табайық, мұндағы С₁ және С₂- кез келген тұрақтылар.

Осы функциялардың ішінен мәндері t=0 болғанда x=0 түзуінде жататындарын аламыз, және осы функцияларды арқылы белгілейміз. x(0)=0 шарттарынан, y(0)=0 табамыз, C₁=y,C₂=0; сондықтан .

(6) формулаға сәйкес Коши есебінің ізделетін шешім үшін мынау көрініс орын алады

Осыдан

-ні x –ке және y-ті y-қа ауыстырған кезде мынаны аламыз

Әдебиет: 5, б.239-248.

Бақылау сұрақтары:

1. Дербес туындылары бар бірінші ретті сызықты біртекті теңдеулердің түрі қандай?

2. Дербес туындылары бар бірінші ретті характеристикалық теңдеулер жүйесі қандай түрде болады?

3. (1) теңдеу үшін Коши есебін құрыңыздар?

4. Дербес туындылары бар бірінші ретті сызықты емес біртекті теңдеулердің түрі қандай?

5. Бірінші ретті квазисызықты теңдеу қандай түрде болады?