15 Тақырып. Дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеулер

Дәрістің мақсаты:

• бірінші ретті дербес туындылары бар сызықты дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістерін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар тізімі:

1. Дербес туындылы бірінші ретті сызықты біртекті теңдеулер

2. Дербес туындылы бірінші ретті сызықты біртексіз теңдеулер

1. Дербес туындылы бірінші ретті сызықты біртекті теңдеулер

Дербес туындылары бар бірінші ретті сызықты біртекті теңдеулер деп келесі теңдеу аталады

(1)

мұндағы облыстарда анықталған - берілген функциялар, , - ізделетін функция.

Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер жүйесі

(2)

(1) дербес туындылары бар теңдеудің характеристикалық теңдеулер жүйесі деп аталады, ал оның фазалық қисықтары – характеристикалардеп аталады .

Теорема 1. функциясы бірінші ретті сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің шешімі болуы үшін оның характеристикалық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы болуы қажетті және жеткілікті.

(1) теңдеу үшін Коши есебі деп шартты қанағаттандыратын шешімін табу, мұндағы - D - ғы сыптығыр гипербет болады, ал - берілген сыптығыр функция осы гипербетте. гипербет бастапқы гипербет деп аталады, ал функциясы бастапқы шарт деп аталады. x нүктесі бастапқы гипербетінде характеристикалық емес деп аталады, егер осы нүкте арқылы өтетін характеристика, бастапқы гипербетке трансверсальді (жанама болмағанда) болғанда.

Теорема 2. x – бастапқы гипербетте характеристикалық емес нүктесі болсын. Онда, (1) теңдеуі үшін Коши есебінің жалғыз шешімі бар болатындай x нүктесінің қандайда бір маңайы бар бар болады.

Егер D облысында (2) характеристикалық теңдеу жүйесінің n-1 тәуелсіз бірінші интегралдары

, i=1,2,…,n-1 (3)

бар болса, онда (1) теңдеудің барлық шешімдерін келесі формуладан алуға болады , (4)

мұндағы Ф – кез келген дифференциалданатын функция.

1 Мысал. теңдеудің шешімін табу керек.Барлық шешімдер арасынан шартты қанағаттандыратынын ерекшелеңіз.

Шешім. теңдеуден характеристикаларын табамыз. Барлық алғашқы теңдеудің шешімдерін түрінде жазамыз, мұндағы Ф(z) – кез келген үзіліссіз дифференциалданатын функция. Соңғы формула Ou осінің айналасында айналу бетін анықтайды. x=0 жазықтықтағы параболасы арқылы өтетін беттерді табайық. x және y-ті x=0, , теңдеуден алып тастасақ, аламыз. С-нің орнына теңдікті қойғанда, алғашқы беттің теңдеуін аламыз.Бұл теңдік параболоид айналу (Ou айналу осінде) бетін анықтайды.

2 Мысал. Теңдедің шешімін табу

Келесі бастапқы шарттарды қанағаттандыратын:

1)

2) .

Шешім. 1) Характеристиклық теңдеуді құрастырамыз:

Осы теңдеулерді шеше отырып, табамыз. С₁,С₂, С₃ кез келген тұрақтыларын анықтаймыз, (x(0),y(0),z(0)) нүкте бастапқы x=1 бетке тиісті болу үшін; 1=С₁, y=C₂, z=C₃ аламыз.Осылайша

(6) формулаға сәйкес келесіні табамыз

.

e ^t -ні x -ке, y-ті -ке, z-ті -ке алмастырғанда, біржолата мынаны аламыз

.

2) Осы есепті басқа әдіспен табайық. Симметриялық формада характеристикалық теңдеуді жазамыз:

Осыдан екі тәуелсіз бірінші интегралды табамыз:

.

Теңдіктерден

y және z айнымалылардан құтыламыз. Соңғы үш теңдіктен мынаны аламыз

.

Сонымен, . Осы теңдікке y/x -тің орнына С₁ –ді және z/x-тің орнына С₂ –ні қойғанда, алғашқы шешімді табамыз:

.