11, 12 Тақырып. Дифференциалдық теңдеулердің біртекті және біртексіз жүйесінің жалпы теориясы

Дәрістің мақсаты:

• сызықты жүйенің негізгі қасиетттерін енгізу

Қарастырылатын сұрақтар тізімі:

1. Дифференциалдық теңдеулердің біртекті сызықты жүйелері

2. Дифференциалдық теңдеулердің біртексіз сызықты жүйелері

1. Дифференциалдық теңдеудің біртекті сызықты жүйелері

Анықталмаған функцияға және оның туындысына қарасты сызықты болатын дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

,

,

. . . . . . . . . . . . . . ,

.

Мұндай жүйе сызықты деп аталады. Егер барлық болса, онда сызықты біртекті деп аталады.

Сызықты теңдеулер жүйесі шешімнің бар болуы және жалғыздығы туралы теореманың шарттарын қанағаттандырады, егер де қарастырылған облыстағы барлық коэффиценттер және бос мүше сол облыста үзіліссіз болса. Шынымен де бұл жағдайда оң жақ бөліктегі функциялар үзіліссіз және бойынша алынған туындылары шектелген, себебі бұл туындылар тең.

Сызықты теңдеулер жүйесінің келесі қасиеттерін алмастыру жасау арқылы дәлелдеуге болады.

1) егер біртекті сызықты жүйенің шешімі болса, онда

, мұңдағы с — кез келген тұрақты, біртекті сызықты жүйенің шешімі болады. Яғни біртекті сызықты жүйенің шешімін санға көбейтуге болады.

2) егер және біртекті сызықты жүйенің екі шешімі болады, онда

біртекті сызықты жүйенің шешімі болады. Яғни біртекті сызықты жүйенің шешімдерін қосуға болады.

1) және 2) қасиеттерінен біз k шешімін аламыз:

,

,

. . . . . . . . .

,

мұңдағы жоғарғы индекс шешімнің нөмірін көрсетеді, онда

,

шешім болады, яғни шешімдердің сызықты комбинациясы біртекті сызықты жүйенің шешімі болады. Алмастыру жасау арқылы біртекті сызықты жүйенің коэффиценттері нақты болғанда,ал жүйенің комплекстік шешімі:

,болса,

онда шешімнің нақты бөлігі және одан бөлек жорамал бөлігі біртекті сызықты жүйенің шешімі болады. Бұлай мысалы, біртекті сызықты жүйені үшін:

,

, шешімдері болады, яғни

x=cost, y= - sint и x=sint, y=cost,

функциялары да шешімдер болып табылады

1) және 2) қасиеттеріндегі екі параметрге байланысты

, шешім болады.

2. Дифференциалдық теңдеудің біртексіз сызықты жүйелері

Біртектсіз сызықты жүйе үшін біртексіз сызықты жүйенің шешімі, ал - сәйкес біртекті сызықты жүйенің шешімі болса, онда

,

біртексіз сызықты жүйенің шешімі болады. Мысалы, сызықты жүйе

,

x = 4, y = - t шешімі болады, ал біртекті сызықты жүйенің шешімі

,

жоғарыда көрсетілгендей

,

шешімін аламыз, бұдан екі кез келген айнымалыдан тұратын біртекті емес сызықты жүйенің шешімі

, .

Егер біртекті сызықты жүйенің n шешімі табылса

- бірінші шешім,

- екінші шешім,

. . . . . . . . . . . . .

- n – ші шешім,

ал анықтауыш

онда келесі сызықты комбинацияның бұл жүйенің жалпы шешімі болады:

, , . . . . . ., .

таңдау арқылы алғашқыда берілген шарттарды қанағаттандыруға болады:

,

болғандықтан теңдеу мына түрде болады:

, ,….., .

Оң жақтары нолге тең емес жағдайда да шешімі табылады:

, ,……,

Біртексіз сызықты жүйе үшін сәйкес біртекті жүйенің жалпы шешімінің және біртексіз жүйенің дербес шешімінің қосындылары:

,

біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімін құрайды. Егер біртекті сызықты жүйенің шешімі белгілі болса, онда тұрақтыларды вариациялау арқылы біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімін табуға болады.

, (k=1, 2,..., n) жүйесіне сәйкес біртекті жүйенің шешімі

, болсын :

барлық жаңа белгісіз функциялар деп есептейік, онда

және (j=1, 2,..., n).

(j=1, 2,..., n) болатынын ескеріп: , аламыз, бұдан

(j=1, 2,..., n) аламыз.

Бұл сызықты жүйеден табуға болады, , интегралдап табамыз.

Әдебиеттер: 2, б.132-154; 3, б. 126-140; 4, б. 464-485.

Бақылау сұрақтары:

1. Біртекті сызықты жүйенің фундаментальді шешімі дегеніміз не?

2. Біртекті сызықты жүйенің Вронскийдің анықтауышы дегеніміз не?

3. n-ші ретті біртекті сызықты жүйенің Вронскийдің анықтауышы фундаментальді шешім құра ма?

4. Біртекті сызықты жүйенің фундаментальді шешімі бойынша жалпы шешімі қалай құрылады?

5. Біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімін табу үшін тұрақтыларды вариациялау әдісін сипаттаңыз?