10 Тақырып. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы теориясы
Дәріс мақсаты:
- дифференциалдық теңдеулер жүйесі туралы және оның шешімі туралы түсінік беру
- симметриялық және нормальдық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін шешу әдісін көрсету
Қрастырылатын сұрақтар тізімі:
1. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің нормальдық формасы
2. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің симметриялық формасы
Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің нормальдық формасы
Дифференциалдық теңдеу жүйесі
(1)
Нормальді
формадағы жүйе немесе
функциясының туындасына қарасты шешілген
жүйе деп аталады.
(1)
жүйенің
аралығындағы шешімі деп
аралағында үзіліссіз дифференциалданатын
және
қанағаттандыратын
функцияларды айтамыз.
(1)
жүйесінің үзіліссіз дифференциалданатын
функциясы осы жүйенің бірінші интегралы
аталады, егер
,
нолге тең болса
(1)
жүйесінің n
тәуелсіз бірінші интегралы белгілі
болса, онда
,
,
…,
,
келесі теңдіктерді
,
(2)
мұңдағы Ci - кез келген тұрақты осы жүйенің жалпы интегралы деп аталады.
Егер
осы жүйенің бір бірінші интервалы
белгілі болса, онда айнымалыларының
біреуіне қарасты
шешіп, мысалы
,
(3)
(3)
теңдуін (1) жүйесінің
алғашқы теңдеулеріне қойамыз, сонда
пайда болған жүйенін реті төмендейді.
Дифференциалдық теңдеу жүйесінің нормальдық формасының шешуінің екі әдімін көрсетейік. Бірінші әдісінде теңдеулер жүйесін бір n-ші ретті теңдеуге келтіреміз.
Келтірудің
жалпы схемасы мына түрге болады. Мысалы,
(1) жүйесін бірінші теңдеуін кезекпен
рет дифференциалдаймыз және
орнына
мәндерін қоямыз, онда басқа теңдеулерден
мынаны аламыз:
(4)
(4)
жүйесінің
ең алғашқы теңдеулерден
анықтап және ең соңғы теңдікке қойып
n-ші
ретті дифференциалдық теңдеуді аламыз:
Бұл теңдеуді шешіп, алдыңғы жүйенің шешімін табамыз.
(1) жүйесіннің шешімін интегралданатын комбинациялар құру арқылы шешуге болады.
2. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің симметриялық формасы
Жоғарыда көрсетілген (1) жүйесін шешу әдісі дифференциалдық теңдеулер жүйесінің симметриялық формасын шешуге де қолданылады, яғни теңдеулер жүйесінің келесі түрі
(5)
(5) теңдеулер жүйесін шешу кезінде тең бөлшектердің қасиетін пайдалану керек, егер тең бөлшектер бар болса,
онда
кез келген
сандар
үшін,
теңдігі орындалады.
Мысал
1.
теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешімі:
теңдеунен берілген жүйеден интегралды
анықтайық:
.
Теңсіздік құру үшін тағы бір интегралды
табайық:
,
.
шығады.
Бірінші тәуелсіз интегралдар табылды.
Мысал
2.
.
теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешімі:
теңдеуден
(*) табамыз.
Интегралданатын комбинацияны құрамыз:
,
.
Соңғы
теңдеуді
-ке
қысқартып және интегралдап мынаны
аламыз:
.
(**)
(*) және (**) интегралдар тәуелсіз болғандықтан, берілген жүйенің шешімі келесі қатынастан анықталады:
, .
Әдебиеттер:3, б. 188-220; 9, б. 117-140.
Бақылау сұрақтары мен тапсырмалар:
1. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы түрі қандай?
2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің нормальдық жүйесінің түрі қаңдай?
3. Нормальдық жүйе үшін Коши есебі қалай қойылады?
4. Қаңдай нормальдық жүйе стационарлы және автономды деп аталады?
5. Нормальдық жүйенің жалпы шешімі деп не аталады?
6. Интегралдық комбинация дегеніміз не? Және жалпы интегралды табу үшін қалай қолданылады?
7. Нормальдық жүйенің n теңдеуін бір анықталмаған функциясы бар n ретті теңдеуге келтіруге бола ма?
8. Симметриялық түрдегі дифференциалдық жүйенің түрін көрсетіңіз?