3. Шеттік есептер

Жай дифференциалдық теңдеулер шектік есептерде бір нүктеде емес кесіндімен шектелетін екі нүктеде беріледі және оның шешімін тауып алу керек. Шеттік есепті шығару үшін

, , (2.1)

, , (2.2)

(2.1) теңдеуінің жалпы шешімін табу керек және оған кіретін тұрақты айнымалыларды таңдап алу керек. Коши есебіне қарағанда шеттік есеп әрқашанда шешіле бермейді. Шеттік есептің (2.1), (2.2) Грин функциясы деп , аралығында анықталатын мынадай қасиеттері бар функция аталады:

1. функциясы болғанда мына теңдеуді қанағаттандырады:

; (2.3)

2. функция функциясы және болғанда (2.2) шеттік есептің шарттарын қанағаттандырады;

3. функциясы болғанда бойынша үзіліссіз, ал оның х бойынша туындысы бірінші ретті үзіліс, секірісі тең болады:

, (2.4)

(2.1), (2.2) шеттік есептің Грин функциясын табу үшін (2.2) бірінші және екінші шеттік есептің шартын қанағаттандыратын және екі шешімін табу керек. Егер шеттік есептің бір мезгілде екі қасиетін де қанағатттандырса, онда Грин функциясы бар және оны келесі түрде іздеу керек:

, болғанада

(2.5)

Мұңдағы және функцияларын (2.5) функциясы (2.4) шарттарын қанағаттандыратындай таңдап алады:

, (2.6)

Грин функциясы табылса, онда (2.1), (2.2) шеттік есептің жалпы шешімі келесі формуладан табылады:

(2.7)

Сызықты шеттік есепті шешкенде мынадай амалдар жүргізуге болады. (2.1) сызықты диффетенциалдық теңдеу үшін ке екі шеттік шарттары қойылса, және нүктелеріндегі туындылары болса, онда шеттік есептің шешімі мынаған тең болады:

, (2.8)

мұңдағы , және функциялары үш Коши есебінен табылады : , ; , , , ,

, . (2.9)

Берілген шеттік шарттарды (2.8) қойып, және коэффиценттерін анықтау үшін екі теңдеуден тұратын жүйені аламыз. Шеттік есептің меншікті мәні деп

, (2.10)

, (2.11)

бұл есептің нөлдік емес шешімі бар болатындай санын айтамыз. Бұл шешім меншікті функция деп аталады.

Әдебиеттер: 3, б. 441-445.

Бақылау сұрақтары:

1. Қаңдай функциялар интервалда аналитикалық деп аталады?

2. Шеттік есепті құрыңдар.

3. Шеттік есеппен Коши есебінің айырмашылығы?

4. Шеттік есептің Грин функциясы деп не аталады?

5. Шеттік есептің меншікті мәні деп не аталады?