1. Дәрежелік қатарлардың көмегімен теңдеулерді интегралдау

Жоғарғы ретті коэффиценттері айнымалы сызықтық дифференциалдық теңдеулерді интегралдау қиын мәселе.

Келтірілген теңдеуді шешудің кең таралған түрі ізделінді шешімін дәрежелік қатар түрінде табу. Екінші ретті теңдеуді қарастырайық:

(1.1)

Айталық, (1.1)-дің және коэффиценттері аралықта аналитикалық функциялар болсын, яғни аралығында жинақталатын дәрежелік қатарға жіктеледі.

, , (1.2)

Теорема. Егер және функциялары аралықта аналитикалық болса, онда (1.1) теңдеуінің кез-келген шешімі аналитикалық болады, яғни аралығында жинақталатын

дәрежелік қатарға жіктеледі:

,

Бұл теорема (1.1) теңдеуін интегралдауға мүмкіншілік береді , яғни бұл теңдеудің шешімі дәрежелік қатар түрінде болады. Түрлендірудің алгоритмі мына түрде болады. деп алайық. (1.1) теңдеуінің қатар түрінде іздейміз:

(1.3)

(1.1) теңдуіне (1.3) теңдеуін қойсақ:

, коэффиценттерін о-ге теңестірсек, с_0, с_1, с_2…, анықталмаған коэффиценттерді анықтау үшін рекурентті жүйені аламыз:

……………………… (1.4)

……………………………………………..

с₀ және с₁ коэффиценттерін еркін таңдап аламыз (екеуінің біреуі нолден өзгеше болу керек). с₀ және с₁ таңдап алып_, (1.1) теңдеуінің y(0)=c₀, шартын қанағаттандыратындай шешімін іздейміз. Теңдеуден с₂ –ні табамыз және т.с.с

Егер (1.1) теңдеуіндегі p(x) және q(x) функциялары рационал болса, онда

, ,

мұңдағы - көпмүшелік немесе нүктелері (1.1) теңдеуінің ерекше нүктелері болады.

Екінші ретті теңдеу үшін

(1.5)

мұңдағы және - функциялары аралығында аналитикалық функциялар, ал нүктесі ерекше нүкте болып табылады, егер және коэффиценттерді немесе және функцияларын біреуін ғана қатарға жіктегенде нолден айрықша болады.

ерекше нүктенің маңайында дәрежелік қатар түріндегі шешімі болмауы мүмкін, бұл жағдайда шешімді жалпыланған дәрежелік қатар түрінде іздеу керек:

(1.6)

x > 0 болғандағы (1.5) теңдеуін қарсатырайық. Осы теңдеуге болғанда (1.6)-ны қойып:

x коэффициентін нолге тең деп алып, рекуррентті жүйені аламыз:

…………………………………….. (1.7)

………………………………………….

Мұңдағы:

(1.8)

болғанда мына теңдеуді қанағаттандыру керек:

(1.9)

бұл теңдеу анықтаушы теңдеу деп аталады. - осы теңдеудің түбірлері болсын. айырмасы бүтін сан болмаса, онда болғанда бүтін сан болады. Онда көрсетілген әдіспен (1.1) теңдеунің екі сызықтық тәуелсіз шешімін көрсетуге болады:

және .

амалы бүтін сан болса, онда көрсетілген әдіспен (1.1) теңдеунің бір шешімін жалпыланған қатар түрінде көрсетуге болады. Шешімді біліп, Лиувилл – Остроградский формуласымен бірінші шешіммен сызықтық тәуелсіз болатын екінші шешімін табамыз:

Бұл формуладан -тің шешімін табуға болады:

(А саны нолге тең болуы мүмкін)