8, 9 Тақырып. Коэффиценттері тұрақты n- ші ретті біртекті және біртексіз сызықтық дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясы

Дәрістің мақсаты:

- коэффиценттері тұрақты n- ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешуді үйрену

Қарастырылатын сұрақтар:

1. Коэффиценттер тұрақты біртекті сызықты теңдеулер

2. Коэффиценттер тұрақты біртексіз сызықты теңдеулер

1. Коэффиценттер тұрақты біртекті сызықты теңдеулер

Коэффиценттері тұрақты n- ші ретті бірінші текті дифференциалдық теңдеу деп

, (1.1)

мұңдағы a_j=const (j=1,..., n). n дәрежелі түріндегі D(λ) көпмүшелігі

(1.2)

L(y) коэффиценті тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеудің характеристикалық көпмүшелігі деп аталады.

D(λ)=0 (1.3)

теңдеуі L(y) операторының характеристикалық теңдеуі деп аталады. Егер - (1.3) теңдеуінің түбірі болса, бұдан функция

(1.4)

(1.1) біртекті сызықты теңдеудің фундаментальді шешшімін береді. Егер (1.1) теңдеунің a_j (j=1,..., n)- коэффиценті нақты сан болса, ал (1.3) теңдеуі k₁ еселі m₁ , k₂ еселі m₂,..., k_r еселі m_r түбірлері бар және еселі комплекс түбірлері болса (1.1) теңдеуі мына түрде болады:

(1.5)

Сондықтан коэффиценттері тұрақты сызықты біртекті теңдеуді әрқашанда жай функцияларда интегралдауға болады және интегралдағанда алгебралық операцияларға келтіріледі. Коэффиценттері тұрақты сызықты біртекті теңдеуге келтірілетін теңдеуді қарастырайық.

Эйлер теңдеуі. Бұл мына түрдегі теңдеу:

,

мұңдағы a_j=const (j=1,..., n). ауыстыру. r –ны табу үшін характеристикалық теңдеуді аламыз.

Характеристикалық теңдеудегі жай түбір үшін сай келеді, ал m-ретті түбірге сызықты тәуелсіз шешімі сай келеді. Егер теңдеудің коэффициенттері тұрақты болса, ал характеристикалық теңдеу комплекстік түбірі ретті болса, онда Эйлер теңдеуі сызықты тәуелсіз шешімі мына түрде болады:

Лагранж теңдеуі.

мұңдағы .

Лагранж теңдеуіндегі ауыстыруы коэффиценттері тұрақты теңдеуге келтіріледі

Чебышев теңдеуі.

.

Чебышев теңдеуіндегі ауыстыруы мына теңдеуге келтіріледі:

2. Коэффиценттер тұрақты біртексіз сызықты теңдеулер

Коэффиценттері тұрақты n- ші ретті біртексіз дифференциалдық теңдеу деп

(2.1)

мұңдағы f(x) функциясы- I=(a,b) да үзіліссіз; .

сызықты біртекті теңдеудің фундаментальді жүйе түріндегі шешімі әрқашан табылатындықтан, (2.1) сызықты біртексіз теңдеуді интегралдау осы теңдеудің дербес шешіміне табуға келтіріледі. (2.1) сызықты біртексіз теңдеудің дербес шешімін кез келегн тұрақтыны вариациялау әдісімен шешуге болады немесе Коши әдісімен. (2.1) теңдеуінің оң жағы мына түрде болсын:

(2.2)

мұңдағы - комплекстік ( дербес жағдайда – нақты) тұрақтылар, - m көпмүшелігінің дәрежесі, онда (2.1) сызықты теңдеудің дербес шешімі алгебралық операцияларға келтіріледі. - теңдеуінің бақылау нүктесі еселі характеристикалық түбірі болсын. Онда (2.1) теңдеуінің жалғыз дербес шешімі болады:

(2.3)

мұңдағы - m дәрежелі көпмүшеліктің коэффиценттері анықталмаған коэффиценттер әдісімен анықтауға болады.

(2.1) теңдеуінің коэффиценттері нақты сан, ал оң жағы арнайы түрде болады:

(2.4)

мұңдағы - нақты сандар, - нақты коэффиценттері бар m,n дәрежелі көпмүшелік, ал (2.1) сызықты біртексіз теңдеудің жалғыз дербес шешімі

(2.5)

түрінде анықталады, мұндағы - саныны операторының еселі түбірі, - дәрежелері көпмүшеліктердің коэффициенттерін анықталмаған коэффиценттер әдісімен анықтауға болады.

Әдебиеттер: 4,б 41-67; 9,б.62-84; 3,б.401-432.

Бақылау сұрақтар мен тапсырмалар:

1. Коэффиценттері тұрақты n- ші ретті біртекті дифференциалдық теңдеудің түрін көрсет?

2. Коэффиценттері тұрақты n- ші ретті біртексіз дифференциалдық теңдеудің түрін көрсет?

3. операторының характеристикалық көпмүшелігі деп қаңдай көпмүшелік аталады?

4. операторының характеристикалық көпмүшелігі деп қаңдай теңдеу аталады?

5. Әр түрлі және еселі характеристикалық теңдеудің фундементальді жүйе шешімі және жалпы шешімі қаңдай түрде болады?

6. Эйлер теңдеуін сызықты теңдеуге айналдыратын қаңдай ауыстыру?

7. Лагранж теңдеуінен коэффиценттері тұрақты сызықты біртекті теңдеуге келтіретін қаңдай ауыстыру?

8. Сызықты n –ші ретті біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу үшін анықталмаған коэффиценттер әдісі неден тұрады?

Тақырып (СРС) . Екінші ретті сызықты дифференциалдық

теңдеулердің кейбір сұрақтары

Дәрістің мақсаты:

- қатарлардың көмегімен теңдеулерді интегралдау әдісін қарастыру

- шеттік есепті шығару әдісін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар:

1. Қатарлардың көмегімен теңдеулерді интегралдау

2. Шеттік есептер