Дәрістер тезистері

1Тақырып. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

Дәріс мақсаты:

• дифференциалдық теңдеулердің анықтамалары мен негізгі ұғымдарын енгізу

• айнымалылары ажыратылатын теңдеулерді шешеу әдістерін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар тізімі

1. Негізгі ұғымдар

2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

1. Негізгі ұғымдар

Дифференциалдық теңдеу деп белгісіз функция туынды немесе дифференциал түрінде келетін теңдеуді айтады. Мысалы:

1. (1-ші дәрежелі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу);

2. (3-ші дәрежелі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу);

3. (1-ші дәрежелі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу);

4. (2-ші дәрежелі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу);

5. (дербес шешімді 1-ші дәрежелі екінші ретті дифференциалдық теңдеу);

6. (шектік теңдеу).

Барлық теңдеулер, соңғысынан басқасы, дифференциалдық теңдеу болып табылады, ал соңғы мысалда функция теңдеудің дифференциал астына кірмей тұр, сондықтан оны дифференциалдық теңдеу емес шектік теңдеу деп атаймыз.

Егер дифференциалдық теңдеуде белгісіз функция тәуелсіз айнымалы болса ,онда дифференциалдық теңдеу кәдімгі деп аталады (1,2,3,4мысалдар); егер дифференциалдық теңдеуге кіреті белгісіз функция бірнеше тәуелсіз айнымалыларға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу дербес шешімді теңдеу деп аталады ( 5 мысал).

Алдағы уақытта біз тек қана кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді ғана қарастырамыз.

Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеуге кіретін белгісіз функцияның туындының немесе дифференциалының ең жоғарғы ретін айтады.

1,2,3 мысалдағы теңдеулер бірінші ретті , 4,5 мысалдар екінші ретті. Дифференциалдық теңдеудің сол жағындағы көпмүшенің дәрежесі осы дифференциалдық теңдеудің дәрежесі деп аталад. 1,3,4 мысалдары 1-ші дәрежелі, 2 –3- ші дәрежелі теңдеу.

Дифференциалдық теңдеуді шешу дегеніміз - сол теңдеуді қанағаттандыратын барлық шешімдерді табу

Мысал, теңдеудің шешімі және ,себебі және

Дифференциалдық теңдеудің шешімдер графигін интегралдық қисық деп аталады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін іздеу процесін дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп аталады.

Теңдеу интегралданған деп аталады , егер ол айқын түрде немесе қандайда бір шектік теңдеуі айқын емес түрде шешілсе.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтайтын шектік теңдеуі осы теңдеудің интегралы деп аталады.

Төменде қарапайым дифференциалдық теңдеуді интегралдау әдістері көрсетілген.

Егер 1-ші дәрежелі бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің туындысы былайша жазылады:

Мұндағы интегралдау арқылы табылады:

.

Егер мәнінде болса, онда

.

дифференциалдық теңдеуі туындының мәні мен (x,y) координаталар нүктелері арасында тәуелділік орнатады. Осылайша теңдеуі өріс бағытын анықтайды.Ал бұл жердегі шешімде С кез келген тұрақтысының қатысуы кездейсоқ емес. Осыған қатысты мынадай анықтама беруге болады. Егер функциясы х айнымалысы бойынша теңдеудің шешімі болса және де бұл теңдеулердің кез келген С тұрақтысының тиянақты бір мәнінде өрнектелсе, онда шешімін дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Сөйтіп бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміне бір кез келген тұрақтысы қатысады.

дифференциалдық теңдеудің бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі деп атайды.

Теорема: Егер және функциялары нүктесінің аймағында үздіксіз болса, онда Коши есебі

,

нүктесінің аймағында бір ғана шешімі бар.

үшін қанағаттандыратын геометриялық нүктелер жиынын изоклина деп атайды, демек изоклиналарының теңдеуі болып табылады.

Берілген дифференциалдық теңдеудің изоклиналарын құрып алғаннан кейін берілген теңдеудің қисықтар бірлестігін жуықтап табуға болады. Изоклиналарды қиып өтетін барлық қисықтар бірлестігі осімен бірдей бұрыш құрайды.