Методические указания к практическому занятию №10

Тема: Решение задач на взаимное расположение прямых, прямой и плоскости в пространстве.

Цель: Решать задачи на взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве.

Оснащение: модели многогранников, инструкция по ТБ №84.

Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008

Справочный материал

1. Взаимное расположение прямых в пространстве (таблица 1).

2. Взаимное расположение прямой и плоскости (таблица 2).

Пример: Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной 1 см, а длина бокового ребра равна 3 см. Точки Р, Т, О и К - середины ребер. АВ, ВВ₁, В₁Д и АД соответственно. Вычислите периметр четырехугольника РТОК.

Решение:

1) ТО – средняя линия треугольника В₁ВД следовательно ТО параллельно ВД, ТО = ½ ВД.

2) РК – средняя линия треугольника АВД следовательно РК параллельно ВД, РК = ½ ВД.

3) Из 1) и 2) следовательно РК параллельно ТО, РК = ТО, т.е. РТОК - параллелограмм.

4) Р_РТОК = 2РТ = 2РК = АВ₁ + ВД,

АВ₁ = (см),

ВД = (см),

Р_РТОК = (см)

Ответ: (см).

Упражнения

1.Прямые а и b в пространстве параллельны между собой, а прямая с

не пересекает прямую а. Верно ли утверждение, что прямые b и с параллельны?

2.Назовите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Проанализируйте.

3.Через конец А отрезка АВ проходит плоскость α. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках В₁ и С₁ соответственно. Вычислите длину отрезка СС₁, если ВВ₁ = 8см, АС:СВ=12см.

4.АВСD – трапеция (ВС параллельна DА). Вершины А и В трапеции лежат в плоскости α, две другие вершины не принадлежат плоскости α. Вычислите расстояние от точки А до точки пересечения прямой СD с плоскостью α, если АD = 16см, АВ =9см, ВС = 12см.

5.Точка О не лежит на параллельных плоскостях α₁ и α₂ и не лежит между ними. Через точку О проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно точках А₁ и А₂, В₁ и В₂. Найдите отрезки ОА₂ и ОВ₂ , если ОА₁ = 9см, ВВ₁ =16см, А₁ А₂= ОВ₁

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.Прямые а и b параллельны третьей прямой. Что можно сказать о взаимном расположении прямых а и b?

2.Даны скрещивающиеся прямые а и b, точки А и В лежат на прямой а, точки С и D на прямой b. Верно ли, что прямые АС и ВD – скрещивающиеся?

3. Плоскость α и отрезок АВ имеют одну общую точку А. Через точку В и середину С отрезка АВ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках В₁ и С₁ соответственно. Вычислите длину отрезка ВВ₁, если СС₁= 10см.

4. АВСDА₁В₁С₁D₁– параллелепипед. Точка О лежит продолжении ребра DС. Вычислите расстояние от точки D до точки пересечения прямой С₁О с плоскостью А₁АD, если СС₁= 8см, DС = 4см, ОС = 6см.

5.Точка О не лежит на параллельных плоскостях α₁ и α₂ и не лежит между ними. Через точку О проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно точках А₁ и А₂, В₁ и В₂. Найдите отрезки ОА₂ и ОВ₂ , если ОА₁ = 8см, В₂ В₁ =18см, А₁ А₂= ОВ₁.

Вариант 2

1.Прямая т параллельна плоскости α. Верно ли, что в плоскости α существует прямая, параллельная прямой т?

2. Точки А, В, С принадлежат плоскости α и не лежат на одной прямой, точка D не принадлежит плоскости α. Сколько пар скрещивающихся прямых определяют эти точки?

3. Плоскость α и отрезок АВ имеют одну общую точку А. Через точку В и середину С отрезка АВ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках В₁ и С₁ соответственно. Вычислите длину отрезка ВВ₁, если СС₁= 18см.

4. DАВС– треугольная пирамида. Точки Т,Р, М, К - середины ребер АD, ВD, СВ, СА соответственно. Вычислите периметр четырехугольника ТРМК, если СD = 6см, АВ = 7см.

5.Точка О не лежит на параллельных плоскостях α₁ и α₂ и не лежит между ними. Через точку О проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно точках А₁ и А₂, В₁ и В₂. Найдите отрезки ОА₂ и ОВ₂ , если ОА₁ = 6см, В₂ В₁ =14см, А₁ А₂= ОВ₁

Контрольные вопросы

1. Каково может быть взаимное расположение двух различных прямых в пространстве?

2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

3. Какие прямые называются скрещивающимися?

4. Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

5. В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?

6. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

7. Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.

Задание на дом.

[3] с. 54-59, 65-69, №209; №248