I вариант II вариант

1. Упростите выражение:

а) tgα ctgα – cos²α а) sin²α – ctgα tgα

б) б)

2. По заданному значению одного из выражений найдите значения трех остальных:

sinα = , < α < π cosα = - , π < α <

3. Докажите тождество:

tg²α – ctg²α =

Контрольные вопросы

1. Запишите формулы суммы и разности аргументов.

2. Запишите формулы преобразования суммы в произведение.

3. Запишите формулы двойного аргумента.

4. Запишите формулы преобразования произведения в сумму.

Задание на дом

[1] с. 157-159, 160-164, №2.182; 2.1

Методические указания к практическому занятию №5

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций

Цель: выполнять задания на построение и преобразование графиков тригонометрических функций, применять их свойства при решении задач.

Оснащение: таблица значений тригонометрических функций, модель «Тригонометрический круг», ТБ инструкция №48.

Литература: Алгебра. 10 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008

Справочный материал

Функция y=sin x.

Рассмотрим функцию синус, заданную формулой y=sin x, с областью определения – множеством R.

Теорема (о свойствах функции y = sinx).

1. Область определения функции y = sinx — множе­ство R.

2. Область (множество) значений функции y = sinx — промежуток [-1; 1].

3. Функция y = sinx периодическая с периодом .

4. Наименьшее значение у = -1 функция y-sinx при­нимает в точках Наибольшее значение у = 1 — в точках

5. Нулями функции являются значения аргу­мента

6. Функция y = sinx принимает отрицательные значе­ния на каждом из промежутков ( ), и положительные значения на каждом из промежутков

7. Функция y = sinx нечетная.

8. Функция y = sinx возрастает на каждом из проме­жутков и убывает на каждом из промежутков

Пример 1. Сравнить значения выражений sin 7, sin 1, sin 4.

Решение. Имеем так как 0,72 и 1 принадлежат промежутку а на этом промежутке функция y=sin x возрастает и её значения неотрицательны.

Так как угол, радианная мера которого равна 4, оканчивается в III четверти, то sin 4<0.

Ответ: sin 4<sin 7<sin 1.

Функция y=cos x.

Рассмотрим функцию косинус, заданную формулой y=cos x, с областью определения – множеством R.

Теорема (о свойствах функции y=cos x).

1. Область определения функции y=cos x – множество R.

2. Область (множество) значений функции y=cos x – промежуток [-1;1].

3. Функция y=cos x периодическая с периодом .

4. Наименьшее значение y=-1 функция y=cos x принимает в точках Наибольшее значение y=1 функция y=cos x принимает в точках

5. Нулями функции y=cos x являются значения аргумента

6. Функция y=cos x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков и положительные значения на каждом из промежутков

7. Функция y=cos x чётная.

8. Функция y=cos x убывает на каждом из промежутков и возрастает на каждом из промежутков

Пример 1. Функция задана формулой на множестве D. Является ли эта функция четной, если:

а) б) D=Z?

Решение. а) Функция не является чётной, так как промежуток D – ее область определения – несимметричен относительно начала координат:

б) Функция четная, так как ее область определения D=Z – множество, симметричное относительно нуля, и для любого имеем

Функция y=tg x

Рассмотрим функцию тангенс, заданную формулой y=tg x, с область определения – множеством действительных чисел

Теорема (о свойствах функции y=tg x).

1. Область определения функции y=tg x – множество действительных чисел

2. Область (множество) значений функции y=tg x – все действительные числа, т.е.множество R.

3. Функция y=tg x периодическая с периодом

4. Наибольшего и наименьшего значений функция y=tg x не имеет.

5. Нулями функции y=tg x являются значения аргумента

6. Функция y=tg x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков и положительные значения на каждом из промежутков

7. Функция y=tg x нечетная.

8. Функция y=tg x возрастает на каждом из промежутков

Функция y=ctg x.

Рассмотрим функцию котангенс, заданную формулой y=ctg x, с областью определения – множеством действительных чисел

Теорема (о свойствах функции y=ctg x).

1. Область определения функции y=ctg x – множество действительных чисел

2. Область (множество) значений функции y=ctg x – все действительные числа, т.е. множество R.

3. Функция y=ctg x периодическая с периодом

4. Наибольшего и наименьшего значений функция y=ctg x не имеет.

5. Нулями функции y=ctg x являются значения аргумента

6. Функция y=ctg x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков и положительные значения на каждом из промежутков

7. Функция y=ctg x нечетная.

8. Функция y=ctg x убывает на каждом из промежутков

Упражнения:

1.Среди перечисленных функций укажите тригонометрические функции:

а) y =-5 – tg x; б) y = 2ctg2 x + sin x;

в) г) у=5+5х2

2.Какими из перечисленных свойств обладает функция y = ctg x:

а) нечетная; б) периодическая; в) D(х) =R; г) Е(у) = [-1; 1]?

4.Постройте график функций у=sin 2х и укажите наибольшее и наименьшее значения функции.

5. Определите период функции:

а) f(x) = sin2 x – cos2 x; б) f(x) = 2sin 2x cos 2x.

Самостоятельная работа

I вариант

1.Среди перечисленных функций укажите тригонометрические функции:

а) у = 2cos 2x +5; б) у=сtg2x + sin3 x;

2.Какими из перечисленных свойств обладает функция y = sin x:

а) четная; б) непериодическая; в) D(х) =R; г) Е(у) = [-3; 4]?

§.

4.Постройте график функций у =2 cos х и укажите наибольшее и наименьшее значения функции.

5. Определите период функции:

а) f(x) = cos2 x – sin2 x; б) f(x) = 2sin 3x cos 3x.

II вариант

1.Среди перечисленных функций укажите тригонометрические функции:

а) у = sin x + 7; б) у= 2 cos 2 x + 3 tg2x;

§.

2.Какими из перечисленных свойств обладает функция y = cos x:

а) нечетная; б) периодическая; в) D(х) =R; г) Е(у) = [-3; 4]?

4.Постройте график функции b у =0,5 sin х и укажите наибольшее и наименьшее значения функции.

5. Определите период функции:

Контрольные вопросы:

Укажите наибольшее (наименьшее) значение функции y=sin x.

Укажите промежутки убывания (возрастания) функции y=cos x.

Чему равен наименьший положительный период функции y=tg x?

Назовите промежутки знакопостоянства функции y=ctg x.

Задание на дом

[1] с. 180-186, 189-194, 197-201, 204-208, №3.27; 3.61

Методические указания к практическому занятию №6

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений

Цель: решать простейшие линейные и квадратные уравнения относительно тригонометрических функций.

Оснащение: таблица значений тригонометрических функций, модель «Тригонометрический круг», ТБ инструкция №48.

Литература: Алгебра. 10 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008

Справочный материал

1. Определение обратных тригонометрических функций и их простейшие свойства

Определения:

1) α = arc sinα sin α = a

-µ §

2) α = arc cosα cos α = a

0 ≤ х ≤ π

3) α = arc tgα tg α = a

-

2. α = arc ctgα ctg α = a

0 < α < π

Свойства:

1. arc sin (-x) = - arc sin x

2. arc tg (-x) = - arc tg x

3. arc cos (-x) = π – arc cos x

4. arc ctg (-x) = π – atr ctg x

2. Простейшие тригонометрические уравнения

1. (n z)

sin x = a x = (-1)ⁿ arc sin a + πn

2) cos x = a x = ± arc cos a + 2πn

tg x = a x = arc tg a + πn

3. ctg x = a x = arc ctg a +πn

а) sin x = 0 x = πn, д) cos x = 0 x = + πn,

б) tg x = 0 x = πn е) ctg x = 0 x = + πn,

в) sin x = 1 x = + 2πn, ж) sin x = -1 x = - + 2πn,

г) cos x = 1 x = 2πn, з) cos x = -1 π + 2πn

Упражнения

1.Корнем уравнения cos x =1 является число: а) π; б) ; в) 2π; г) 1.

2.Решите уравнения:

а) tg x = 1;

3.Найдите множество корней уравнения:

Cамостоятельная работа

Вариант 1

1.Корнем уравнения cos x = - 1 является число: а) π; б) ; в) 2,5π; г) 1.

2.Решите уравнения:

3.Найдите множество корней уравнения:

Вариант 2

1.Корнем уравнения sin x = 0 является число: а) π; б) ; в) 2,5π; г) 1.

2.Решите уравнения:

3.Найдите множество корней уравнения:

Контрольные вопросы

1. Как называется и обозначается функция, обратная функции синуса?

2. Дать определение арксинуса и числа а.

3. Формула решения уравнения вида sin х = а.

4. Как называется и обозначается функция, обратная функции косинуса?

5. Дать определение арккосинуса числа а.

6. Формула решения уравнения вида cos х = а.

7. Как называется и обозначается функция, обратная функции тангенса?

8. Определение арктангенса числа а.

9. Формула решения уравнения вида tg х = а.

Задание на дом

[1] с. 211-216, 219-222, №3.102; 3.116