1. Возрастание и убывание функции
Функция у = f (х) называется возрастающей в промежутке (а; в), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что х1 < х2, имеет место неравенство f (х1) < f (х2).
Функция у = f (х) называется убывающей в промежутке (а; в), если для любых х1 и х2 принадлежащих этому промежутку и таких, что х1 < х2 имеет место неравенство f (х1) > f (х2). Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает – промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции у = f (х) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке f/ (х) > 0, то функция возрастает в этом промежутке: если же f/ (х) < 0, то функция убывает в этом промежутке.
2. Правило нахождения экстремумов функции у = f (х) с помощью первой производной
1. Найти производную f| (х).
2. Найти критические точки функции у = f (х), т.е точки в которых f| (х) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак f| (х) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f (х). Если f| (х) изменяет знак при переходе через такую точку с минуса на плюс, то в этой точке достигается минимум, а если с плюса на минус – то максимум, если знак производной не изменится, то в рассматриваемой точке функция экстремума не имеет.
4. Вычислить значения функции в точках экстремума.
3.Схема исследования функции и построения ее графика
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
4. Найти интервалы монотонности функции и ее экстремумы.
5. Используя полученные сведения, построить график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график у=х3–6х2 +9х– 3
1. Д (у) = R.
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью ОУ: предполагая х = 0, получим у = – 3. Точки пересечения графика с осью ОХ в данном случае найти затруднительно.
4. Найдем промежутки монотонности и экстремумы.
у/ = 3 х2 – 12 х + 9;
3 х2 – 12 х + 9 = 0
х1 = 1, х2 = 3
х |
(– ∞; 1) |
1 |
(1; 3) |
3 |
(3 + ∞) |
у/ |
+ |
|
– |
|
+ |
|
|
т mах |
|
т min |
|
ууmах = у (1) = 1
уmin = у (3) = –1
Используя полученные данные, строим искомый график. у (2) = – 1
Упражнения
Исследуйте функцию и постройте ее график.
1) у = 5 – х2 – 4 3) у = 3 х2 – х3
2) у = 3 х – х3 – 2 4) у = х4 – 2х2 – 3
Самостоятельная работа
Исследуйте функцию и постройте ее график.
Вариант I
а) у = х2 – 2 х + 8;
б) у = х3 – 3х;
в) у = 2х3 – 3х2 – 12 х – 1
Вариант II
а) у = х2 – 6 х + 9
б) у = х3 – 4х2 + 3
в) у = х3 – 6х2 + 9 х + 8
Контрольные вопросы
1. Сформулировать правило нахождения экстремумов функции.
2. Как найти промежутки монотонности?
3. Что называется функцией?
4. Что называется областью определения функции?
5. Как найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Задание на дом
[1] с. 64-68, №1.116
Методические указания к практическому занятию №17
Тема: Тождественные преобразования выражений, содержащих корни n-ой степени
Цель: Выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих корни n – ой степени.
Оснащение: ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал
Корнем n-ой степени из числа а называется такое число t, n-я степень которого равна а.
Свойства корня n-ой степени
Для любого натурального n, целого к и любых неотрицательных чисел а и b выполнены равенства:
1. µ §
2. µ § (b ≠ 0)
3. µ § (к > 0)
4. µ § (к > 0)
5. µ § (если к ≤ 0, то а ≠ 0).
Пример:
Упростить выражения:
а) µ § (св. 1)
б) µ § (св. 2)
в) µ § (св. 3)
г) µ § (св. 4)
Упражнения
1.Заменить степень дробью: а) у-12; б) (-2х)-9
Самостоятельная работа:
I вариант
II вариант
Контрольные вопросы:
1. Какое число называется корнем n-ой степени из числа а?
2. Сколько корней четной степени n существует из положительного числа а?
3. Корень, какой степени существует из любого числа а?
4. Перечислите свойства корня n-ой степени.
Задание на дом
[2] с. 10-14; 19-21, 24-27, 31-34, №1.79; 1.96
Методические указания к практическому занятию №18
Тема: Тождественные преобразования выражений, содержащих степенные функции.
Цель: Преобразовывать выражения, содержащие степенную функцию.
Оснащение: ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал
Функция, заданная формулой f (х) = хα, называется степенной (с показателем степени α).
Частные случаи степенных функций:
у = х, у = х2, у = х3, у = µ §
Свойства степени с рациональным показателем.
Для любых значений а и b при любых рациональных S и t верны равенства:
аS аt = а S+t (1)
µ § = аs-t (2)
(аs)t = аst (3)
(аb)s = аs bs (4)
µ § (5)
Пример:
Найти значение функций f (х) в точке хо f (х) = 32х-7/2, хо = 2
f (2) = 32 · 2-7/2 = 25 · 2-7/2 = 25-7/2 = 23/2
Упражнения:
§
§ .
§
§
Самостоятельная работа
I вариант
§
§ §
§
§§§
II вариант
§ .
§
§§§
Задание на дом
[2] с. 47-49, 53-56, №1.140; 1.157
Методические указания к практическому занятию №19
Тема: Исследование степенных функций с рациональным показателем и построение их графиков.
Цель: Исследовать степенные функции с рациональным показателем и строить их графики.
Оснащение: ТБ инструкция №84.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал
Теорема (о свойствах функции у = х2k, k µ §N)
1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел.
2. Множеством (областью) значений функции является промежуток [0; +∞).
3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
4. График функции имеет с осями координат единственную общую точку (0; 0) – начало координат.
5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции.
6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на множестве (-∞; 0) ( (0; +∞), т.е. все точки графика, кроме начала координат, лежат выше оси Ох, в I и II координатных углах.
7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат.
8. Функция убывающая на промежутке (-∞; 0] и возрастающая на промежутке [0; +∞).
9. Функция не является периодической.
Теорема (о свойствах функции у = х2k+1, k µ §N)
1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел.
2. Множеством (областью) значений функции является множество R всех действительных чисел.
3. Функция наименьшего и наибольшего значений не имеет.
4. График функции пересекает оси координат в единственной точке (0; 0) – начале координат.
5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции.
6. Функция принимает отрицательные значения (у < 0) на промежутке (-∞; 0) и положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +∞); график функции расположен в I и III координатных углах.
7. Функция нечетная; график функции симметричен относительно начала координат.
8. Функция возрастающая на области определения.
9. Функция не является периодической.
Теорема (о свойствах функции у = хr,r µ §Q, 0 < r < 1)
1. Областью определения функции является множество [0; +∞).
2. Множеством (областью) значений функции является множество [0; +∞).
3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
4. График функции имеет с осями координат в единственную общую точку (0; 0) – начало координат.
5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции.
6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +∞); график функции расположен в I и III координатных углах.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной.
8. Функция возрастающая на области определения.
9. Функция не является периодической.
Теорема (о свойствах функции у = х-2k+1, k µ §N)
1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т.е. х ≠ 0.
2. Множеством (областью) значений функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т.е. у ≠ 0.
3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4. График функции не пересекает координатных осей.
5. Функция не имеет нулей.
6. Функция не принимает отрицательные значения (у < 0) на промежутке (-∞; 0) и принимает положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +∞); график функции расположен в I и III координатных углах.
7. Функция нечетная: график функции симметричен относительно начала координат.
8. Функция не является убывающей на промежутке (-∞; 0) и убывающей на промежутке (0; +∞).
9. Функция не является периодической.
Теорема (о свойствах функции у = х-2k, k µ §N)
1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т.е. х ≠ 0.
2. Множеством (областью) значений функции является промежуток (0; +∞).
3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4. График функции не пересекает координатных осей.
5. Функция не имеет нулей.
6. Функция не принимает положительные значения (у > 0) на всей области определения (-∞; 0) ( (0; +∞); график функции расположен в I и II координатных углах.
7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат Оу.
8. Функция возрастающая на промежутке (-∞; 0) и убывающая на промежутке (0; +∞).
9. Функция не является периодической.
Упражнения:
1. Найдите значение функции f (х) в точке хо
а) f (х) = µ §; хо = 32
б) f (х) = µ §; хо = 4
2. Укажите область определения выражения
а) µ § б) (2х + 4)-13
3. Функция задана формулой у = хn. Найдите n, если известно, что график функции проходит через точку
а) А (7; 49); б) К (1024; 4); в) Р (1024; µ §)
4. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
у = µ § и у = µ §
5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у = х9; б) у = х2008; в) у = х-7; г) у = х-24
6. Изобразите схематично график функции
а) у = µ § б) у = х0,374 – 1,5
Самостоятельная работа
I вариант II вариант
1. Найдите значение f (х) в точке хо
f (х) = µ §; хо = 8 f (х) = µ §; хо = 16
2. Укажите область определения выражения:
а) µ § а) µ §
б) (0,1х – 4)-6 б) (2х + 0,4)-13
3. Функция задана формулой у = хn. Найти n, если известно, что график функции проходит через точку
N (216; µ §) Т (243; µ §)
4. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
у = µ § и у = µ § у = µ § и у = µ §
5. Изобразите (схематично) график функции
а) у = х-5 а) у = х-13
б) у = (х + 2)12 – 1 б) у = (х – 3)19 + 1
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение степенной функции
2. Сформулируйте свойства функции у = х2к (к µ § N)
3. Сформулируйте свойства функции у = х2к + 1 (к µ § N)
4. Сформулируйте свойства функции у = х-2к+1 (к µ § N)
5. Сформулируйте свойства функции у = х-2к (к µ § N)
Задание на дом
[2] с. 67-74, 78-82, №1.195; 1.218
Методические указания к практическому занятию №20
Тема: Решение иррациональных уравнений.
Цель: Решать иррациональные уравнения.
Оснащение: Таблица «Свойства корня n-ой степени», микрокалькуляторы. ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал
Иррациональные уравнения.
Определение. Иррациональное уравнение – это уравнение, где переменная содержится под знаком корня.
1. Основные методы решения иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений используются или равносильные преобразования, или переход к уравнению – следствию и исследованию области определения уравнения (в дальнейшем также будет использоваться термин «ОДЗ» - область допустимых значений переменных, входящих в уравнение). При переходе к следствию необходимой частью решения должна быть проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
Рассмотрим основные типы уравнений.
1) Уравнение вида µ § g (х) равносильно системе
µ §
В дальнейшем вместо корней четной степени будем использовать квадратные корни.
2. Уравнение вида µ § равносильно системе
µ § или g (х) ≥ 0
3. Уравнение вида f (х) µ § = 0 равносильно системе
µ §
2. Примеры решения уравнений
Пример 1. Произведение корней уравнения µ § = -2 равно:
1) 0; 2) 3; 3) 7; 4) 6; 5) 5
Решение. Рассмотрим систему, равносильную данному уравнению:
µ §
Значение х = 0 не удовлетворяет условию х ≥ 2
Решением является х = 3
Ответ: 2
Пример 2. Сумма корней уравнения µ § равна:
1) 4; 2) 5; 3) 0; 4) 1; 5) {1; 4}
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
µ §
Значение х = 1 не удовлетворяет условию х ≥ 3, значение х = 4 является решением.
Ответ: 1.
Упражнения:
1. Решить уравнение:
1) µ §
2) µ §
3) 3х2 + 15х + 2µ § = 2
4) µ §
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Решите уравнения:
а) µ §
б) µ §
в) х2 + 3х - µ § = 0
г) µ §
д) §
е) §
ж) §
2. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у = µ § и у = µ §
Вариант 2
1. Решите уравнения:
а) µ §
б) µ §
в) х2 – 8х - 2µ § = 0
г) µ §
д)
е) §
ж)
§
2. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у = µ § и у = µ §
Домашнее задание
[2] с. 87-90, 93-98, №1.235; 1.239
Методические указания к практическому занятию №21
Тема: Решение иррациональных неравенств
Цель: Решать иррациональные неравенства.
Оснащение: ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал
Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам (не содержащим корней). Освободиться от корней иногда удаётся путём возведения обеих частей неравенства в степень. При этом (в силу того что проверка полученных решений подстановкой затруднена) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводят в чётную степень, то полученное неравенство будет равносильно исходному и иметь тот же смысл, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Примеры решения иррациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство:
а)µ § б) µ §
Решение.
а) Учитывая свойства корня нечётной степени, получаем:
µ §
б) По определению корня чётной степени значения выражения µ § неотрицательны при всех значениях µ §, при которых это выражение имеет смысл, т.е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем:
µ §
Ответ: а) µ § б) µ §
Пример 2. Решить неравенство:
а)µ § б) µ §
Решение. а) По определению корня чётной степени значения выражения µ § отрицательными быть не могут. Поэтому имеем:
µ §
б) Поскольку обе части неравенства µ § неотрицательны при всех значениях µ §, при которых его левая часть имеет смысл, то имеем:
µ §
Ответ: а) µ § б) µ §.
При решении иррациональных неравенств часто используется также метод интервалов.
Пример 3. Решить неравенство µ §
Решение. Обозначим µ § Найдём область определения функции µ §:
µ §
Таким образом, µ §
Найдём нули функции µ §, т.е. корни уравнения µ §
µ §Проверка: µ §
µ § Значит, 0,5 – единственный нуль функции µ §.
Отметим нуль функции µ § на области определения D(µ §) (рис.1).
Определим знаки значений функции µ § на образовавшихся интервалах, для чего вычислим:
µ §
Рис.1.
Используя рисунок 1, запишем решение неравенства µ §
Пример 4. Решить неравенство µ §
Решение. Решение этого примера дословно повторяет решение примера 3.
Используя рисунок, записываем решение неравенства
µ §
Ответ: µ §
Упражнения
Решите неравенства:
№1 µ §
№2 µ §
№3 µ §
№4 µ §
№5 µ §
Самостоятельная работа
Решить неравенства
I вариант
II вариант
№1 µ §
№1 µ §
№2 µ §
№2 µ §
№3 µ §
№3 µ §
№4 µ §
№4 µ §
№5 µ §
№5 µ §
Контрольные вопросы:
Какие неравенства называются иррациональными?
Опишите подходы к решению неравенств вида:
а)µ §б) µ § в) µ §
Задание на дом:
[2] с. 100-103, №1.258; 1.261
Методические указания к практическому занятию №22
Тема: Вычисление площади поверхности призмы, параллелепипеда.
Цель: Решать задачи на вычисление площади поверхности призмы, параллелепипеда.
Оснащение: Модели призм, параллелепипеда. ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008
Справочный материал
1. Призма
Определение. Многогранник, две грани которого п-угольника, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные п граней – параллелограммы, называется п-угольной призмой (рисунок 1).
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямой (рисунок 2).
Если же боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то призма называется наклонной (рисунок 3).
Рисунок 1 Рисунок 2
Рисунок 3 Рисунок 4
Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной.
Определение. Призма, основанием которой служит параллелограмм называется параллелепипедом (рисунок 4).
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым.
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным (рисунок 5).
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, называют его измерениями.
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты, называется кубом (рисунок 6). Все три измерения куба между собой.
Рисунок 5 Рисунок 6
2. Площадь поверхности параллелепипеда и призмы
Прямоугольный и прямой параллелепипеды
Площади боковой и полной поверхности прямого параллелепипеда находится по формулах
Sбок = Р · а (1)
Sпол.повер. = Sбок + 2Sосн. (2)
Где: Р – периметр основания, а – боковое ребро.
Правильная и прямая призмы
Площади боковой и полной поверхностей правильной и прямой призм находятся по формулам:
Sбок = Рh (3)
Sполн = Sбок + 2Sосн (4)
Где: Р – периметр основания; а – боковое ребро.
Наклонная призма
Площади боковой и полной поверхностей наклонной призмы находятся по формулам:
Sбок = Ра (5)
Sполн. = Sбок + 2Sосн (6)
Где: Р – периметр перпендикулярного сечения; а – боковое ребро призмы.
Упражнения
I уровень
1. ABCA1B1C1 — правильная призма,
АВ = 3, АА1 =4. Найдите Sбок
________________________________________________________________________________________________
2. ABCDА1B1C1D1 — правильная призма, Sбок = 120
_______________________________________________________________________________________________
II уровень
3. ABCA1B1C1 — прямая призма,
АВ =13, АС =5, В1С = 15, (АСВ = 900.
Найдите Sполн.
________________________________________________________________________________________________
4.ABCDА1B1C1D1 — прямая призма
АВСD – ромб, АВ = 6, Sполн. = 156,
(ВАD = 300.
Найдите АА1.
________________________________________________________________________________________________
III уровень
5.ABCA1B1C1 — прямая призма,
АВ = ВС = 5, (В1СВ = 450, РАВС = 16
Найдите Sполн.
______________________________________________________________________________________________
____________________________________________
6. ABCA1B1C1 — прямая призма,
АВ = 13, АС = 5, § = 40
Найдите Sбок..
______________________________________________________________________________________________
____________________________________________
IV уровень
7.ABCDМКА1B1C1D1М1К — правильная призма,
АВ = 6, (В1МВ = 450.
Найдите Sполн..
________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.ABCA1B1C1 — наклонная призма,
ВВ1С1С – квадрат, (АСВ = 900, В1С = §,
((ВСС1; АВС) = 450.
Найдите h.
________________________________________________________________________________________________________________________________________
Самостоятельная работа:
Вариант 1
1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, равна 26 см.
Найдите:
а) высоту призмы;
б) боковую поверхность призмы;
в) полную поверхность призмы.
2. Боковая поверхность прямой призмы равна 96 дм2. Найдите боковое ребро призмы, если ее основание – ромб с острым углом 60о и меньшей диагональю 6 дм.
3. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Диагональ боковой грани, содержащей боковую сторону треугольника, равна 10µ §см и образует с плоскостью основания угол 45о.
Найдите:
а) боковое ребро призмы;
б) боковую поверхность призмы;
в) полную поверхность призмы.
Вариант 2
1. Основанием прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см и катетом 16 см. Диагональ боковой грани, содержащей второй катет, равна 13 см.
Найдите:
а) высоту призмы;
б) боковую поверхность призмы;
в) полную поверхность призмы.
2. Боковая поверхность прямой призмы равна 96 дм2. Найдите высоту призмы, если ее основание – ромб с высотой 4 дм и острым углом 60о.
3. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник, в котором биссектриса угла при вершине равна 12 см. Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника, равна 10µ § см и образует с боковым ребром – призмы угол 45о.
Найдите:
а) боковое ребро призмы;
б) боковую поверхность призмы;
в) полную поверхность призмы.
Контрольные вопросы:
1. Что называется призмой?
2. Перечислите виды призмы.
3. Что называется параллелепипедом?
4. Перечислите виды параллелепипеда.
5. Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
6. Что называется площадью поверхности призмы?
Задание на дом:
[4] с. 12-18, №9; 13
Методические указания к практическому занятию №23
Тема: Вычисление площади поверхности пирамиды
Цель: Решать задачи на вычисление площади поверхности пирамиды и находить ее элементы.
Оснащение: Модели пирамид. ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008.
Справочный материал:
Пирамида
Определение. Многогранник, одна из граней которого, произвольный многогранник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой (рисунок 1).
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а точка пересечения высоты с основанием совпадает с центром основания (рисунок 2).
Рисунок 1 Рисунок 2
Определение: Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью полной поверхности пирамиды, а сумма площадей боковых граней – площадью боковой поверхности.
Sпир. = Sбок + Sосн
Определение: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Упражнения
1. Сторона основания и апофема правильной треугольной пирамиды соответственно равны 16 см и 6 см. Найти боковую поверхность пирамиды. [144 см2].
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна µ § см, а боковое ребро равно 5 см. Найти полную поверхность этой пирамиды. [16 см2].
3. Вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота – 9 см, а апофема равна 18 см. [1458 см2].
4. Определить сторону основания правильной четырехугольной пирамиды по ее высоте 0,2 дм и боковой поверхности 0,06 дм2. [0,14 дм].
5. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Самостоятельная работа
Вариант №1
Вариант №2
1. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды.
1. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10 и 18 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота - µ § см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота - µ § см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно l, а плоский угол при вершине – а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна l, а плоский угол при вершине – а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
4. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Высота пирамиды равна 16 см и приходит через вершину прямого угла. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.
4. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и приходит через середину гипотенузы основания. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту и вершину прямого угла основания.
5. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с высотой угол 30о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если отрезок, соединяющий середину высоты с серединой апофемы, равен µ § см.
5. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см.
Контрольные вопросы
1. Что называется пирамидой?
2. Какая пирамида называется правильной?
3. Какая пирамида называется усечённой пирамидой?
4. Что такое апофема правильной пирамиды?
5. Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
6. Как найти площадью полной поверхности пирамиды.
Задание на дом
[4] с. 26-34, №66; 68
Методические указания к практическому занятию №24
Тема: Вычисление объема параллелепипеда
Цель: Решать несложные задачи на вычисление объема параллелепипеда.
Оснащение: Модели призм, параллелепипеда. Таблица «Основные формулы стереометрии». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008.
Справочный материал:
Объем параллелепипеда.
Прямой параллелепипед
Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
V = а · в · с; (1)
где а, в, с – измерения параллелепипеда, а объем прямого параллелепипеда находится по формуле:
V = Sосн. · Н (2)
где Sосн. – площадь основания;
Н – высота (боковое ребро) параллелепипеда.
Наклонный параллелепипед
Объем наклонного параллелепипеда находится по формуле:
V = Sосн. · Н (3)
где Sосн – площадь основания;
Н – высота параллелепипеда.
Упражнения
1.ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный
параллелепипед, АВ = 4, АD =5, А1D = 13.
Найдите V
______________________________________________________________________________________________
2.ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный
параллелепипед, SАВСD= 6, § §
Найдите V.
______________________________________________________________________________________________
3.ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед,
ABCD -ромб, АС =8, ВD = 6, DС1 =13.
Найдите V
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
Самостоятельная работа
Вариант №1
Вариант №2
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 5 см, а диагональ большей боковой грани равна 13 см. Найдите объем параллелепипеда.
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8 см, а диагональ меньшей боковой грани 10 см. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основание прямого параллелепипеда – ромб с периметром 20 см и диагональю 8 см. Высота параллелепипеда равна меньшей диагонали его основания. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основание прямого параллелепипеда – ромб с периметром 40 см и диагональю 12 см. Высота параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите объем параллелепипеда.
3. Основание параллелепипеда – прямоугольник с диагональю 8 см и углом между диагоналями 60о. Боковое ребро параллелепипеда равно 10 см и образует с плоскостью основания угол 30о. Найдите объем параллелепипеда.
3. Основание параллелепипеда – квадрат с диагональю 8µ § см. Одна из сторон нижнего основания является проекцией бокового ребра параллелепипеда, составляющего с плоскостью основания угол 45о. Найдите объем параллелепипеда.
Контрольные вопросы
Что такое параллелепипед?
Что такое измерения параллелепипеда?
По какой формуле вычисляется объём параллелепипеда?
Задание на дом
[4] с. 52-55, №137; 13
Методические указания к практическому занятию №25
Тема: Вычисление объема призмы.
Цель: Решать несложные задачи на вычисление объема призмы.
Оснащение: Модели призм, параллелепипеда. Таблица «Основные формулы стереометрии». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008.
Справочный материал:
Правильная, прямая и наклонная призмы
Объем призмы находится по формуле:
V = Sосн. · Н (1)
где Sосн – площадь основания;
Н – высота призмы.
Упражнения
1.ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед,
ABCD -ромб, РАВСD = 20, АС =8, h = ВD.
Найдите V.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
2.ABCDМКА1B1C1D1М1К — правильная призма,
АВ = 6, (ВМВ1 = 300.
Найдите V.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
3.ABCA1B1C1 — прямая призма,
(ВСА = 900, АС = 12, АА1 = 10, V = 300
Найдите Sбок.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
4. ABCDA1B1C1D1 — прямая призма,
ABCD - трапеция, ВС = 2, АD = 8, АА1 = 10, V = 200,
АВ = СD.
Найдите Sполн..
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
5. ABCA1B1C1 — прямая призма, SАВС = 4, S1 бок.гр. = 9,
S2 бок.гр. = 10, S3 бок.гр. = 17.
Найдите V.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________
Самостоятельная работа
Вариант №1
Вариант №2
1. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник с основанием 8 см и периметром 18 см. Найдите объем призмы, если ее боковые грани квадраты.
1. Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 5 см и периметром 18 см. Найдите объем призмы, если одна ее боковая грань – квадрат.
2. Боковое ребро прямой призмы равно 10 см, а ее объем – 300 см3. основание призмы – прямоугольный треугольник с катетом 12 см. Найдите боковую поверхность призмы.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Объем призмы равен 240 см3. Найдите боковую поверхность призмы.
3. Основание наклонной призмы – правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней призмы перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с острым углом α. Найдите объем призмы.
3. Основание наклонной призмы – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Боковая грань призмы, содержащая гипотенузу основания, - ромб с острым углом α. Найдите объем призмы.
Контрольные вопросы
1. Что называется призмой?
2. Какие виды призмы знаете?
3. По какой формуле вычисляется объем призмы?
Задание на дом
[4] с. 72-74, №214; 218
Методические указания к практическому занятию №26
Тема: Вычисление объема пирамиды
Цель: Решать задачи на вычисление объема пирамиды.
Оснащение: Модели пирамид. Таблица «Основные формулы стереометрии». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008.
Справочный материал:
Объем пирамиды
Объем пирамиды находится по формуле:
µ §
где Sосн – площадь основания;
Н – высота пирамиды.
Объем усеченной пирамиды находится по формуле:
где Н – высота;
Q – площадь большого основания;
q – площадь меньшего основания.
Упражнения
1. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 18 дм. Вычислить объем этой пирамиды, если высота боковой грани 4 дм. [≈5,07 дм3].
2. Вычислить объем пирамиды, основание которой – прямоугольник со сторонами 2,8 см и 4,5 см. Высота пирамиды равна диагонали основания. [22,26 см3].
3. Водоем имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Найти объем земляных работ, выполненных при постройке водоема, если длина нижнего основания 25 м, верхнего 36 м, а глубина водоема 2 м (вычислите с точностью до 1 м3). [1881 см3].
4. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1,5 м.
Самостоятельная работа
Вариант №1
Вариант №2
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60о. Найдите объем пирамиды.
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании пирамиды – 60 о. Найдите объем пирамиды.
2. Основание пирамиды прямоугольник с меньшей стороной 5 см и углом между диагоналями 60о. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объем пирамиды.
2. Основание пирамиды - прямоугольник с большей стороной 6µ § см и углом между диагоналями 120о. Каждое боковое ребро пирамиды равно 10 см. Найдите объем пирамиды.
3. Объем треугольной пирамиды равен V. Найдите объем пирамиды, высота которой совпадает с высотой данной пирамиды, а вершина основания – середины сторон треугольника, лежащего в основании данной пирамиды.
3. Объем треугольной пирамиды равен V. На высоте пирамиды выбрана точка, делящая высоту в отношении 2:1, считая от основания. Найдите объем пирамиды, основание которой совпадает с основанием данной пирамиды, а вершиной является выбранная точка.
4. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен а. Найдите объем пирамиды, если расстояние от основания высоты до середины апофемы равно d.
4. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен а. Найдите объем пирамиды, если отрезок, соединяющий середину высоты с серединой бокового ребра, равен d.
5. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и противолежащим ему углом 30о. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45о. Найдите объем пирамиды.
5. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 4µ § см и прилежащим к нему углом 60о. Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой углы, равные 45о. Найдите объем пирамиды.
Контрольные вопросы
1. Что называется пирамидой?
2. Какие виды пирамиды знаете?
3. Что такое высота пирамиды?
4. По какой формуле вычисляется объем пирамиды?
5. По какой формуле вычисляется объем усечённой пирамиды?
Задание на дом
[4] с. 81-86, №263; 266
Методические указания к практическому занятию №27
Тема: Решение показательных уравнений.
Цель: Решать показательные уравнения.
Оснащение: Таблица «Свойства степеней». ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008.
Справочный материал:
Показательные уравнения
1.
Уравнение, содержащее переменную в
показателе степени, называется
показательным. Простейшим примером
показательного уравнения служить
уравнение ах = в (где а > 0, а ≠ 1). Это
уравнение можно решить графически
(рисунок 1).
Рисунок 1
2. Решение показательного уравнения вида аf(х) = аq(х) (где а >0, а ≠ 1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f (х) = q(х).
3. Уравнение вида Аа2х + Вах + с = 0 с помощью подстановки ах = у сводится к квадратному уравнению Ау2 + Ву + с = 0.
Упражнения
Решить уравнение:
а) µ §
Решение
Представив µ § как 32/7, получим µ §, так левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. Следовательно, далее уравнение равносильно квадратному уравнению.
µ §, откуда µ § х2 = 1
б) 32х+2 + 32х = 30.
Решение
Представим 32х+2 как 32х ∙ 32 и положим 32х = у. Тогда данное уравнение примет вид:
9 у = у = 30, 10 у = 30; у = 3; 32х = 3; 2 х = 1; µ §;
в) 52х – 6 ∙ 5х + 5 = 0.
Решение
Предположим 5х = у. Тогда 52х = (5х)2 = у2 и данное уравнение примет вид у2 – 6 у + 5 = 0. Корни этого уравнения: у1 = 1; у2 = 5. Следовательно, 5х = 1; х = 1; и 5х = 5, х = 1.
Итак, получаем ответ: {0; 1}
Варианты заданий
Решить уравнение
1. а)µ § б)µ § в) 36-х = 33х-2
2. а) 7х+2 + 4 · 7х+1 = 539
б) 3 · 5х+3 + 2 5х+1 = 77
в) 3х+1 – 2 · 3х-2 = 75
3. а) 9х – 8 · 3х – 9 = 0
б) 36х – 4 · 6х – 12 = 0
в) 4х ·3х – 2 = 16
Самостоятельная работа
Вариант I
№1. Решите уравнения:
а) µ §;
б) 2х – 1 + 2х + 2 = 36;
в) 25х + 10 · 5х – 1 – 3 = 0;
г) 2х · 5х + 2 = 2500
Вариант II
а) µ §;
б) 5х – 5х –2 = 600;
в) 9х + 3х + 1 – 4 = 0;
г) 7х + 1 · 2х = 98.
№2. Решите уравнения:
а) µ §;
б) µ §;
в) µ §;
г) µ §.
а) µ §;
б) µ §;
в) µ §;
г) µ §.
Контрольные вопросы:
1. Какая функция называется показательной.
2. Перечислите свойства функции у = ах при а > 1.
3. Перечислите свойства функции у = ах при 0 < 1.
4. Какие из перечисленных уравнений являются показательными:
а) 3х-1 + 5 = 0; б) х · 3х+1 = 0,5; в) 2х + 3х+1; г) 5х = х2 + 1
5. Перечислить основные приемы решения показательных уравнений.
Задание на дом
[2] с. 123-126, №2.40; 2.49
Методические указания к практическому занятию №28
Тема: Решение показательных неравенств.
Цель: Решать показательные неравенства.
Оснащение: Таблица «Свойства степеней». ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал:
Показательные неравенства.
1 Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным
2 Решение показательных неравенств основано на свойстве функции у = ах: эта функция возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1.
Упражнения
1) Решить уравнение:
а) µ §
Решение: Замечая, что µ §, перепишем данное неравенство в виде 3х < 3–2. Так как основание степени больше 1, то х < –2. Итак, получаем ответ: (– ∞; –2)
б) 4х – 6 · 2х + 8 < 0
Решение: Предположим 2х = у, тогда 4х = (2х )2 = у2 и данное неравенство примет вид у2 – 6 у + 8 < 0. Решая, это неравенство, находим 2 < y < 4. Возвращаясь к переменной х, получаем 2 < 2х < 22, откуда 1 < х < 2. Интервал (1;2) – решение данного неравенства.
Варианты заданий
Решите неравенства:
А. 1)µ § 2) 36 – x > 32x – 2; 3) µ §
Б. 1) 3x + 1 + 3x + 3 < 90
2) 7x + 2 + 4 · 7x + 1 < 539
3) 3x +2 + 3x – 1 < 28
В. 1) 4x – 2x + 1 – 8 > 0
2) µ §
3) µ §
4) µ §
Самостоятельная работа
Решите неравенства:
I вариант II вариант
а) 51-2х > µ § а) 73-х < µ §
б) µ § ≤ 16 б) µ § ≥ 5
в) 3х – 3х-3 > 26 в) 2х+2 + 2х+5 < 9
г) 4х – 2х ≥ 2 г) 9х – 3х ≤ 6
д) 32х+2 – 3х+4 > 3х – 9 д) 9х+1 – 3х+3 ≥ 3х – 3
Контрольные вопросы:
1. Какая функция называется показательной.
2. Перечислите свойства функции у = ах при а > 1.
3. Перечислите свойства функции у = ах при 0 < 1.
4. Перечислить основные приемы решения показательных неравенств.
Задание на дом
[2] с. 130-134, № 2.73, 2.75
Методические указания к практическому занятию №29
Тема: Решение логарифмических уравнений.
Цель: Решать логарифмические уравнения.
Оснащение: Таблица «Основные свойства логарифмов». ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал:
Логарифмические уравнения
1. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение ℓоqа х = в (где а > 0), а ≠ 1).
2. Решение логарифмического уравнения вида ℓоqа f (х) = ℓоqа q (х) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f (х) = q (х) при дополнительных условиях f (х) > 0, q (х) ) > 0.
3. Отметим, что переход от уравнения ℓоqа f (х) = ℓоqа q (х) к уравнению f (х) = q (х) иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств
f (х) > 0, q (х) > 0).
4. При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.
5. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
Варианты заданий
1. Решите уравнения
А. 1) ℓоq2 (х2 + 4 х +3) = 3
2)µ §
Б. 1) µ §
2) µ §
В. 1) ℓоq0,3х = 2 ℓоq0,3 6 – ℓоq0,3 12
2) ℓоq6 (х + 1)+ ℓоq6 (2х + 3) = 1
3) ℓq2х – ℓq х2 + 1 = 0
4) ℓоqх (х2 – 2 х + 2) = 1
5) ℓоq2 х + ℓоq4 х + ℓоq8 х = 11
6) ℓоqх-1 (2 х2 – 5 х – 3) = 2
2. Самостоятельная работа
Решить уравнения:
Вариант №1: Вариант №2:
а) µ § а) µ §
б) µ § б) µ §
в) µ § в) µ §
г) µ § г) µ §
д) µ § д) µ §
е) µ § е) µ §
ж) µ § ж) µ §
з) µ § з) µ §
Контрольные вопросы
1. Определение логарифма.
2. Основные свойства логарифмов.
3. Какие уравнения называются логарифмическими?
4. Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений? Почему?
Задание на дом:
[2] с. 165-169, №2.172; 2.184
Методические указания к практическому занятию №30
Тема: Решение логарифмических неравенств.
Цель: Решать логарифмические неравенства.
Оснащение: Таблица «Основные свойства логарифмов». ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал:
Логарифмические неравенства
1. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства logа f(х) > logа φ (х), logа f(х) < logа φ(х) при а > 0, а ≠ 1 являются логарифмическими.
2. Неравенство logа f(х) > logа φ(х) равносильно системе f(х) > φ(x) > 0 при а µ §(1; ∞) и системе 0 < f(х) < φ(х) при а µ § (0; 1).
Варианты заданий
1. Решить неравенства:
1. а) log2 (3-2х) > 1
б) µ §(5-2х) > -2
в) log5(х-3) ≤ 2
2. а) lq(2х-3) > lq(х+1)
б) lq(3х-7) ≤ lq(х+1)
3. а) lqх + lq(х-1) < lq6
б) log2(х2-х-12) < 3
в) µ § - log2х ≤ 6
Самостоятельная работа
Iвариант II вариант
1. Решите неравенства:
а) log2(8-х) < 1 а) log3(х-2) < 2
б) µ § б) log0,5(2х-4) ≥ log0,5(х+1)
в) log2х + log2(х-1) ≤ 1 в) log2(x-3) + log2(х-2) ≤ 1
г) log0,3(2х2-9х+4) ≥ 2log0,3(х+2) г) log0,5(2х2+3х+1)≥2log0,5(х-1)
д) § д) §
Контрольные вопросы:
1. Основные свойства логарифмической функции у = loqах при а > 1.
2. Основные свойства логарифмической функции у = logах при 0 < а < 1.
3. Какие неравенства называются логарифмическими?
4. Чем следует руководствоваться при решении логарифмических неравенств?
Задание на дом:
[2] с. 174-179, №2.201; 2.207
Методические указания к практическому занятию №31
Тема: Решение систем логарифмических уравнений.
Цель: Решать системы логарифмических уравнений.
Оснащение: Таблица «Основные свойства логарифмов». ТБ инструкция №48.
Литература: Алгебра. 11 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
Справочный материал:
При решении систем логарифмических уравнений используются приемы решения систем алгебраических уравнений и методы решения логарифмических уравнений.
Упражнение
Решите систему уравнений
µ §
Решение: Первое уравнение равносильно уравнению у – х = 2, а второе – µ §. Подставим у = 2 + х во второе уравнение, получим х(х+2)=48, откуда х2 + 2х – 48 = 0, т.е. х = –8 или х = 6. Т.к. х > 0, то х = –8 не подходит. Следовательно, х = 6 и у = 8 – решения системы. Ответ: (6;8).
Варианты заданий
Решите системы уравнений
1) µ §
2) µ §
3) µ §
4) µ §
Самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
1) µ §
1) µ §
2) µ §
2) µ §
3) µ §
3) µ §
Контрольные вопросы
1. В чем заключается способ подстановки решения систем логарифмических уравнений?
2. В чем заключается способ сложения логарифмических уравнений?
3. В чем заключается способ введения новых переменных логарифмических уравнений?
Задание на дом:
[2] с. 165-169, №2.199
Методические указания к практическому занятию №32
Тема: Вычисление площади поверхности цилиндра.
Цель: Решать несложные задачи на вычисление площадей поверхностей цилиндров.
Оснащение: Модели цилиндров. Таблица «Боковые поверхности и объемы тел». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008
Справочный материал:
Цилиндр
а) Боковая поверхность цилиндра:
S = 2 π RН;
где R – радиус цилиндра;
Н – высота цилиндра.
б) Полная поверхность цилиндра:
Sп.п. = 2 π RН + 2 π R2;
Упражнения
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 22,5 дм и образует с плоскостью основания угол 30о. Определить боковую поверхность цилиндра.
[685,3 см2].
2. Найти полную поверхность равностороннего цилиндра, если его боковая поверхность равна 80 см2 [120 см2].
3. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 12 см. найти полную поверхность цилиндра [108 π см2].
4. Полная поверхность цилиндра равна 3 (5 π + 8) см2, а площадь его основания – 12 см2. Определить площадь осевого сечения цилиндра [15 см2].
5. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3м, если на на квадратный метр расходуется 200 г краски?
Самостоятельная работа
Вариант 1.
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат с периметром 16 см. Найдите полную поверхность цилиндра.
2. Сечение цилиндра, параллельное его оси, имеет площадь 18 см2 и отсекает от окружности основания дугу в 60о. Найдите боковую поверхность цилиндра, если его образующая равна 3 см.
3. Хорда основания цилиндра равна 32 см и удалена от центров его основания на 12 и 13 см. Найдите поверхность цилиндра.
4. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 3µ § см.
5. Сечение цилиндра, параллельное его оси отсекает четверть дуги окружности основания. Диагональ этого сечения d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность цилиндра.
Вариант 2.
1. Осевое сечение цилиндра квадрат с площадью 36 см. Найдите полную поверхность цилиндра.
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, пересекает его основание по хорде длиной 4µ § см, стягивающей дугу в 90о. Площадь сечения равна 24µ § см2. Найдите боковую поверхность цилиндра.
3. Концы хорды нижнего основания цилиндра удалены от центра верхнего основания на 20 см, а сама хорда удалена от центров основания на 9 и 15 см. Найдите полную поверхность цилиндра.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площадь его основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 4µ § см.
5. Сечение цилиндра, параллельное его оси и удаленное от нее на расстояние d, отсекает треть дуги окружности основания. Диагональ сечения образует с высотой цилиндра угол α. Найдите боковую поверхность цилиндра.
Контрольные вопросы
1. Что называется прямым круговым цилиндром, образующей, основанием, боковой поверхностью цилиндра?
2. В какую фигуру разворачивается боковая поверхность цилиндра?
3. Как вычислить площадь поверхности цилиндра?
Задание на дом
[4] с. 111-118, №402; 406
Методические указания к практическому занятию №33
Тема: Вычисление площади поверхности конуса и сферы.
Цель: Решать задачи на вычисление площадей поверхностей конуса и сферы.
Оснащение: Модели конуса, шара. Таблица «Боковые поверхности и объемы тел». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008
Справочный материал:
Конус
а) Боковая поверхность конуса:
S = π RL;
где R – радиус основания конуса;
L – образующая конуса.
б) Полная поверхность конуса:
S = π RL + π R2
в) Боковая поверхность усеченного конуса:
S = π L1 + ( R + τ);
где L1 – образующая усеченного конуса нижнего основания;
R – радиус нижнего основания усеченного конуса;
τ – радиус верхнего основания усеченного конуса.
г) Полная поверхность усеченного конуса:
S = π (R + τ) L1 + πR2 + πτ2;
Поверхность шара и его частей
Площади поверхностей шара, шарового сегмента и шарового пояса находятся по следующим формулам:
Sшара = 4 πR2;
где R – радиус шара;
Sшар. сегм. = 2 πRh;
где R – радиус большого круга шара;
h – высота сегментной поверхности.
Sшар.пояса = 2 πRh;
где R – радиус большого круга шара;
h – высота пояса.
Упражнения
1. Боковая поверхность конуса равна 15π см2, а его радиус равен 3 см. Найти высоту конуса. [4 см].
2. Образующая конуса равна 17,1 м, а его боковая поверхность 250 м2. Определить радиус основания [≈ 4,6 см].
3. Определить полную поверхность конуса, если угол между образующей и плоскостью основания 60о, а площадь осевого сечения 10 см2.
[10π√3 см2 ].
4. Образующая конуса равна 40 см и наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найти площадь боковой поверхности конуса. [8 π дм2].
5. Крыша силосной башни имеет конуса. Диаметр башни равен 6 м, а высота 3 м. сколько листов кровельного железа размерами 1,4 х 0,7 м необходимо для покрытия крыши, если расходы на швы составляют 10% требующего железа. [≈ 86 листов].
6. Образующая конуса 10 дм, а его высота 8 дм. Найдите площадь полной поверхности конуса. [96π дм2].
7. Площадь большого круга равна 1 м2. Найдите площадь поверхности шара [4 м2].
8. Дан полушар радиуса R. Найдите площадь его полной поверхности [3πR2].
9. Площадь поверхности шара равна 225π м2. Найдите его объем.
[562,5π м3].
10. Поверхность шара 80π. Определить диаметр шара. [4µ §].
Самостоятельная работа
Вариант 1.
1. Высота конуса относится к диаметру его основания как 3:8, а образующая имеет длину 10 см. Найдите полную поверхность конуса.
2. Полная поверхность конуса равна 24π см2. Найдите объем конуса, если его образующая равна 5 см.
3. Объем шара равен 36π см3. Найдите площадь его поверхности.
4. На расстоянии 12 дм от центра сферы проведено сечение, пересекающее сферу по окружности, длина которой равна 10π дм. Найдите площадь сферы.
Вариант 2.
1. Образующая конуса относится к его диаметру как 13:10, а высота конуса равна 24 см. Найдите полную поверхность конуса.
2. Боковая поверхность конуса больше площади его основания на 4π см2. Найдите объем конуса, если его образующая равна 5 см, а высота меньше радиуса основания.
3. Найдите площадь поверхности шара, объем которого равен 144π см3.
4. Сечение шара имеет площадь 64π дм2 и удалено от центра шара на 6 дм. Найдите площадь поверхности шара.
Контрольные вопросы
1. Что такое конус?
2. Назовите составляющие конуса.
3. По каким формулам вычисляется площадь боковой и полной поверхности конуса?
4. Что называется шаром?
5. Чем отличается шар от сферы?
6. По какой формуле вычисляется площадь поверхности шара?
Задание на дом
[4] с. 127-134, 143-148, №466; 514
Методические указания к практическому занятию №34
Тема: Вычисление объемов тел вращения.
Цель: Решать задачи по вычислению объемов цилиндра, шара, конуса.
Оснащение: Модели цилиндра, конуса, шара. Таблица «Боковые поверхности и объемы тел». ТБ инструкция №48.
Литература: Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск «Народная асвета» 2008
Справочный материал:
1. Цилиндр
а) Объем цилиндра:
V = π R2 Н (1)
б) Объем цилиндрической трубки:
V = = πН (R2 – τ2) (2)
где: R – внешний радиус трубки;
Н – длина трубки;
τ – внутренний радиус трубки.
2. Конус
а) Объем конуса
µ § µ §(3)
где R – радиус основания конуса;
Н – высота конуса.
б) Объем усеченного конуса
µ § (4)
где R – радиус нижнего основания усеченного конуса;
τ – радиус верхнего основания усеченного конуса;
h – высота усеченного конуса.
3. Шар
Объем шара
µ §; (5)
где R – радиус шара;
Д – диаметр шара.
Упражнения
1. Объем цилиндра равен µ §. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат. Определить сторону развертки [4].
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 дм. Найти объем цилиндра [ ≈ 18 дм3].
3. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной 2 дм. Найти объем цилиндра [ ≈ 0,63 дм3].
4. Высота цилиндрической консервной банки, емкость которой 500 см3, равна диаметру ее дна. Вычислить с точностью до 0,5 см радиус и высоту этой банки [ ≈ 4,3 см; ≈ 8,6 см ].
5. Чугунная труба, внутренний диаметр которой равен 2 τ см, а внешний 2 R см, имеет длину ℓ см. Определить массу трубы (плотность чугуна
d = 7,8 г/см3) [π (R2 – τ2) ℓd].
6. Масса медной трубки, длина которой 40 см равна 1 кг. Определить внешний диаметр трубки, если ее внутренний диаметр равен 3 см (плотность меди 8,9 г/см3) [3,56].
7. Цилиндр получен от вращения прямоугольника со сторонами 2 и 3 см вокруг его большей стороны. Найти объем цилиндра и площадь его боковой поверхности.
8. Боковая поверхность цилиндра S, а длина окружности основания С. Найти объем цилиндра µ §
9. Образующая конуса равна 2 дм и составляет с плоскостью основания угол 60о. Определить объем конуса .[≈ 1,8 дм3].
10. Длина образующей конуса равна 3√3 см, а длина окружности основания 2√2 π см. найти объем конуса .[≈ 10,5 см3].
11. Высота конуса 6 см, а боковая поверхность 24 π см2. Определить объем конуса. .[≈ 75 см3].
12. Найти объем равностороннего конуса, сторона осевого сечения которого равна 40 см. .[≈ 14,5 дм3].
13. Площадь основания конуса 9 π см2, полная поверхность его 24 π см2. Найти объем конуса. [≈ 38 см3].
14. Найти объем равностороннего конуса, если его высота равна Н = 3 дм. .[9,42 дсм].
15. Радиусы трех шаров 3, 4, 5 см. Определите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. [6 см см3].
Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см. Найдите объем стенок. [2148 см3].
Объем стенок полого шара равен 876 π см3, а толщина стенок 3 см. найдите радиусы его наружной и внутренней поверхностей. [10 и 7 см ].
Найдите площадь поверхности шара, если объем равен 36 дм3. µ §
Самостоятельная работа
Вариант №1
Вариант №2
1. Высота цилиндра равна 5 см, а диагонали осевого сечения – 13 см. Найдите объем цилиндра.
1. Радиус цилиндра равен 4 см, а диагональ осевого сечения – 10 см. Найдите объем цилиндра.
2. Хорда основания цилиндра равна 16 см и удалена от центра этого основания на 6 см. Отрезок, соединяющий центр другого основания цилиндра с концом данной хорды, образует с плоскостью основания угол 45о. Найдите объем цилиндра.
2. Хорда основания цилиндра равна 12 см и удалена от центра этого основания на 8 см. Отрезок, соединяющий центр другого основания цилиндра с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол 45о. Найдите объем цилиндра.
3. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом α. Расстояние от центра основания конуса до его образующей равно d. Найдите объем конуса.
3. Угол между образующей и высотой конуса равен α. Расстояние от середины высоты конуса до его образующей равно d. Найдите объем конуса.
4. В усеченном конусе радиус меньшего основания равен 2 см. Высота конуса равна 3 см, а его образующая составляет с плоскостью большего основания угол 45о. Найдите объем конуса.
4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 5 см. Один из углов осевого сечения конуса равен 135о. Найдите объем конуса.
5. На расстоянии 4 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 6π см. Найдите объем шара.
5. Сечение шара, удаленное от его центра на 3 см, имеет площадь 16π см. Найдите объем шара.
Контрольные вопросы
1. Что называется осевым сечением цилиндра? Сколько осевых сечений можно провести в цилиндре?
2. Что называется равносторонним цилиндром?
3. Что называется круговым конусом, вершиной конуса, образующей, основанием, осевым сечением?
4. Что называется равносторонним конусом?
5. Записать формулы вычисления объемов цилиндра, конуса, шара.
Задание на дом
[4] с. 143-148, 116-118, 133-134, №420; 526
Литература
1. Алгебра. 10 кл Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
2. Алгебра. 11 кл. Е.П. Кузнецова Минск “Народная асвета” 2008
3. Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыков Минск “Народная асвета” 2008
4. Геометрия. 11 кл. В.В. Шлыков Минск “Народная асвета” 2008
5. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.П. Ершова. Москва “Илекса” 2002.
6. Геометрия 10 класс. А.П. Ершова. Москва “Илекса” 2002.
7. Геометрия 11 класс. А.П. Ершова. Москва “Илекса” 2002.
8. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. А.Н. Колмагоров Москва “Просвещение” 1990
9. Геометрия. 7-11 кл. А.В. Погорелов Москва “просвещение”1992