Постановка задачи

По материалам экспериментального замера зависимости Y(X) (заданной таблично) определить линейную функцию зависимости Y=f(X) методом наименьших квадратов.

Задана таблица значений Y от аргумента X:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	5	7	6	8	8	7	9	10	12	12	11	12	13	13	15	15

Метод наименьших квадратов позволяет определить уравнение прямой линии с наименьшей суммой отклонений точек измерения от этой прямой:

Y Y= Bo + B1*X

Y_i о о о

о

Bo +B1*X_i о о

о

о

Х

X ₁ X₂ X_i. . . . . . . X_n

Рис. 9.

 min

В результате применения метода наименьших квадратов получаем:

- N*Xcp*Ycp

B1= ------------------------------------ ; Bo= Yср - B1* Xср.

² - N*Xcp²

Ниже представлена программа расчета.

Sub MinKV ()

Dim Y(16), YR(16)

N = 16

For I = 1 To N

Y(I) = Cells (I+3, 2)

Next I

SX = 0

SY = 0

SXY = 0

SX2 = 0

For I = 1 To N

X = I

SX = SX + X

SY = SY + Y(I)

SXY = SXY + X * Y(I)

SX2 = SX2 + X *X

Next I

XCP = SX / N

YCP = SY / N

B1 = (SXY – N * XCP * YCP) / (SX2 – N * XCP *XCP)

B0 = YCP - B1 * XCP

Debug. Print “B1=”; B1; “b0=”; B0

For I = 1 To N

X = I

YR(I) = B0 + B1 * X

Cells(I+3, 3) = YR(I)

Next I

End Sub

На рис. 10 показан график прямой линии, полученный в результате расчета, и исходные точки табличного задания.

Рис. 10.

Задача 6. Определение степени корреляции процессов

Постановка задачи

Определить взаимосвязь процессов, вычислив их коэффициент корреляции.

Два процесса (или две величины, принимающие несколько значений) могут быть независимыми друг от друга или в какой-то степени зависеть. Степень такой зависимости определяется коэффициентом корреляции, который принимает значения от 0 (полностью независимые процессы или переменные) до 1 (полностью зависимые процессы).

Математическая модель

Величина коэффициента корреляции r_xy определяется:

r_{xy =}

где : X_i - текущее значение переменной Х;

X_ср - среднеарифметическое значение переменной Х;

Y_{i -} текущее значение переменной Y;

Y_ср - среднеарифметическое значение переменной Y;

n - число переменных (X и Y);

_{x -} среднеквадратичное отклонение переменной X;

_{y -} среднеквадратичное отклонение переменной Y.

Среднее (или ожидаемое) значение случайной величины Х, распределенной на множестве чисел, - Xср, дисперсия D и среднеквадратическое отклонение _x определяются выражениями:

Хср= 1/ n D = (1./N) x = .

Аналогично - для функций Y1,Y2 и т.д.

Решение необходимо проводить в несколько этапов (см. формулу для r_xy): 1) Определение среднеарифметические значения переменных;

2) Определение _{x -} среднеквадратичного отклонения переменных;

3) Определение коэффициента корреляции процессов.

Ниже представлена программа расчета коэффициентов корреляции.

На рис 10 представлено расположение исходных данных на листе таблицы EXCEL, график исходных зависимостей Х, Y1 и Y2 и результат расчета коэффициента корреляции процесса Х с процессами Y1 – RXY1 и Y2 – RXY2.

Программа расчета коэффициента корреляции

Sub KORR ()

Dim X(16),Y1(16),Y2(16)

N=16

For I=1 To N

X(I)=Cells(I+10, 1)

Y1(I)=Cells(I+10,2)

Y2(I)=Cells(I+10,3)

Next I

S1=0

S2=0

S3=0

For I=1 To N

S1=S1+X(I)

S2=S2+Y1(I)

S3=S3+Y2(I)

Next I

XCP=S1/N

Y1CP=S2/N

Y2CP=S3/N

S1=0

S2=0

S3-0

For I=1 To N

S1=S1+(X(I)-XCP)^2

S2=S2+(Y1(I)-Y1CP)^2

S3=S3+(X(I)=XCP)*(Y2(I)-Y2CP)

Next I

SIGX=SQR(S1/N)

SIGY2=SQR(S2/N)

RXY2=S1/(N*SIGX*SIGY2)

Cells(3,3)=XCP

Cells(4,3)=SIGX

Cells(3,4)=Y1CP

Cells(4,4)=SIGY1

Cells(5,4)=RXY1

Cells(3,5)=Y2CP

Cells(4,5)=SIGY2

Cells(5,5)=RXY2

Debug. Print “SIGX=”; SIGX; “SIGY2=”; SIGY2; “RXY2=”;RXY2

End Sub

Рис. 11.