Шестнадцатерична система счисления

Поскольку двоичная система громоздка и трудна для понимания, для упрощения манипулирования с данными было бы полезно иметь возможность быстро и динамично приводить двоичные значения к числам с большим основанием. Оказалось, что преобразовывать двоичные значения к числам шестнадцатеричной системы счисления намного проще и быстрее, чем к десятичным числам. Почему? Давайте сначала рассмотрим, что представляют собой шестнадцатеричные числа.

Для представления шестнадцатеричных чисел используется 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E и F. Как видите, последние шесть символов — не цифры, а буквы. Буквы A—F выбраны произвольно, просто как первые буквы латинского алфавита. Вот чему равны граничные значения в шестнадцатеричной системе счисления:

4   3   2   1

16^3 16^2 16^1 16^0

4096   256   16   1

При переводе шестнадцатеричного числа в десятичное можно использовать описанную выше схему (вычислить сумму произведений цифр числа на граничные значения соответствующих порядков). Возьмем, например, число F8C:

F * 256 = 15 * 256 = 3840

8 * 16 = 128

С * 1 = 12 * 1 = 12

3840 + 128 + 1 = 3980

Перевод числа FC в двоичное число лучше всего делать путем первоначального перевода в десятичное, а затем уже в двоичное:

F * 16 = 15 * 16 = 240

С * 1 = 12 * 1 = 12

240 + 12 = 252

Преобразование числа 252(10) в двоичное представление показано в следующей таблице:

Разряд    9     8     7    6    5    4   3   2  1

Степень  2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2   2   2  2

Значение 256 128 64   32  16  8   4   2  1

256 не укладывается ни разу.

1 раз 128 остаток 124

1 раз 64 остаток 60

1 раз 32 остаток 28

1 раз   16 остаток 12

1 раз   8  остаток 4

1 раз   4  остаток 0

0 раз  2

0 раз   1

1 1 1 1 1 1 0 0

Таким образом, мы получили двоичное число 1111 1100.

Теперь оказывается, что, представив это число как два набора, состоящих из четырех цифр, мы можем сделать одно магическое превращение.

Правый набор представляет собой число 1100. В десятичном выражении это число 12, а в шестнадцатеричном — число С.

Левый набор имеет вид 1111, который по основанию 10 представляется как число 15, а по основанию 16 — как число F. Итак, мы получили следующее:

1111 0000

F      С

Расположив два шестнадцатеричных числа вместе, псшучаем число FC, которое равно настоящему значению 1111 1100. Этот быстрый метод преобразования работает всегда безотказно. Вы можете взять любое двоичное число любой длины, разбить его на группы по четыре разряда, перевести каждую группу в шестнадцатеричную цифру и расположить эти цифры вместе, чтобы получить шестнадцатеричное число. Вот другой пример:

1011 0001 1101 0111

Напомню, что в двоичной системе используются следующие граничные значения порядков: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384 и 32768.

1 X 1 = 1

1 x 2 = 2

1 X 4 = 4

0 x 8 = 0

1 x 16 = 16

1 x 32 = 0

1 x 64 = 64

1 x 128 = 128

1 x 256 = 256

1 x 512 = 0

1 Х 1024 = 0

1 x 2048 = 0

1 x 4096 = 4096

1 x 8192 = 8192

1 x 16384 = 0

1 x 32768 = 32768

Итого: 45527

Для преобразования этого числа в шестнадцатеричное вспомним граничные значения порядков в этой системе счислений:

65536  4096  256  16  1

Число 65 536 (значение пятого порядка) не укладывается в числе 45 527, в пятой позиции ставим 0. Число 4096 (значение четвертого порядка) укладывается в числе 45 527 одиннадцать раз с остатком 471. В остатке 471 число 256 (значение третьего порядка) укладывается один раз с остатком 215. В новом остатке 215 число 16 (значение второго порядка) укладывается 13 раз с остатком 7. Таким образом, получаем шестнадцатеричное число BlD7.

Проверим наши математические выкладки:

В (11) * 4096 = 45 056

1 * 256   = 256

D (13) * 16 = 208

7 * 1 = 7

Всего 45 527

Для проверки ускоренного метода перевода возьмем двоичное число 1011000111010111, разделим его на группы по четыре знака: 1011 0001 1101 0111. Каждая из четырех групп затем преобразуется в шестнадцатеричное число:

1011 =

1 x 1 = 1

1 x 2 = 2

0 x 4 = 0

1 x 8 = 8

Всего: 11

Шестнадцатеричное: В

0001 =

1 x 1 = 1

0 x 2 = 0

0 X 4 = 0

0 x 8 = 0

Всего: 1

Шестнадцатеричное: 1

1101 =

1 x 1 = 1

0 x 2 = 0

1 x 4 = 4

1 x 8 = 8

Всего: 13

Шестнадцатеричное: D

0111 =

1 X 1 = 1

1 X 2 = 2

1 x 4 = 4

0 x 8 = 0

Всего: 7

Шестнадцатеричное: 7

Итак, получаем шестнадцатеричное число B1D7