Еще об основаниях

Число пятнадцать по основанию десять представляется как 15, по основанию девять — как 16(9), no основанию восемь — как 17(8), а по основанию семь — как 21(7). В системе счисления по основанию 7 нет цифры 8, поэтому для представления числа пятнадцать нужно использовать две семерки и одну единицу.

Как же прийти к какому-нибудь общему принципу? Чтобы преобразовать десятичное число в число с основанием 7, вспомните о значении каждой порядковой позиции. В семеричной системе счисления переход к следующему порядку будет происходить на значениях, соответствующих десятичным числам: единица, семь, сорок девять, триста сорок три и т.д. Откуда взялись эти числа? Так ведь это же степени числа семь: 7^0, 7^0, 7^2, 7^3 и т.д. Построим следующую таблицу:

4 3 2 1

7^3 7^2 7^1 7^0

343 49 7 1

В первой строке представлен порядок числа. Во второй — степень числа семь, а в третьей — десятичное представление соответствующей степени числа семь.

Чтобы получить представление некоторого десятичного числа в системе счисления с основанием 7, выполните следующую процедуру. Проанализируйте, к числам какого порядка может относиться это значение. Возьмем, к примеру, число 200. Вы уже

знаете, что числа четвертого порядка в семеричной системе счисления начинаются с 343, а потому это может быть только число третьего порядка.

Чтобы узнать, сколько раз число 49 (граничное значение третьего порядка) "поместится" в нашем числе, разделите его на 49. В ответе получается число 4, поэтому поставьте 4 в третью позицию и рассмотрите остаток, который в данном случае тоже равен 4. Поскольку в этом остатке не укладывается ни одной целой семерки, то во второй разряд (второй порядок) помещаем цифру 0. Нетрудно догадаться, что в остатке 4 содержится 4 единицы, поэтому и ставим цифру 4 в первую позицию (порядок единиц). В итоге получаем число 404(7).

Для преобразования числа 968 в систему счисления по основанию 6 используем следующую таблицу:

5 4 3 2 1

6^4   6^3   6^2   6^1   6^0

1296 216 36 6 1

В числе 968 число 1296 (граничное значение пятого порядка) не умещается ни разу, поэтому мы имеем дело с числом четвертого порядка. При делении числа 968 на число 216 (граничное значение четвертого порядка) получается число 4 с остатком, равным 104. В четвертую позицию ставим цифру 4. Делим остаток 104 на число 36 (граничное значение третьего порядка). Получаем в результате деления число 2 и остаток 32. Поэтому третья позиция будет содержать цифру 2. При делении остатка 32 на число 6 (граничное значение второго порядка) получаем 5 и остаток 2. Итак, в ответе имеем число 4252(6), что наглядно показано в следующей таблице:

5 4 3 2 1

6^4   6^3   6^2   6^1   6^0

1296 216 36 6 1

0 4 2 5 2

Для обратного преобразования, т.е. из системы счисления с недесятичным основанием (например, с основанием 6) в десятичную систему, достаточно умножить каждую цифру числа на граничное значение соответствующего порядка, а затем сложить полученные произведения:

4 * 216   864

2 * 36  = 72

5 * 6   = 30

2 * 1   = 2

sum = 968

Двоичная система счисления

 Минимальным допустимым основанием является 2. В этом случае используются только две цифры: 0 и 1. Вот как выглядят порядки двоичного числа:

Порядок 8 7 6 5 4 3 2 1

Степень 2^7   2^6   2^5   2^4   2^3   2^2   2^1   2^0

Значение 128 64 32 16 8 4 2 1

Для преобразования числа 88 в двоичное число (с основанием 2) выполните описанную выше процедуру. В числе 88 число 128 не укладывается ни разу, поэтому в восьмой позиции ставим 0.

В числе 88 число 64 укладывается только один раз, поэтому в седьмую позицию ставим 1, а остаток равен 24. В числе 24 число 32 не укладывается ни разу, поэтому шестая позиция содержит 0.

В числе 24 число 16 укладывается один раз, поэтому пятой цифрой двоичного числа будет 1. Остаток при этом равен 8. В остатке 8 число 8 (граничное значение четвертого порядка) укладывается один раз, следовательно, в четвертой позиции ставим 1. Новый остаток равен нулю, поэтому в оставшихся позициях будут стоять нули.

0 1 0 1 1 0 0 0

Чтобы протестировать полученный ответ, выполним обратное преобразование:

1 * 64 = 64

0 * 32 = 0

1 * 16 = 16

1 * 8  = 8

0 * 4  = 0

0 * 2  = 0

0 * 1  = 0

sum = 88