Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный

Архитектурно-строительный университет

Кафедра технологии строительных материалов и метрологии

Задание 5.

Тема: «Организация и планирование эксперимента».

Выполнил студент:

Богданова А.А. гр. 1-СМ-1.

Проверил преподаватель:

Доцент, к.т.н. Харитонов М.И.

Санкт-Петербург

2015

Задание: Определить максимум заданной неизвестной функции методом крутого восхождения и найти полином, аппроксимирующий эту функцию в заданном факторном пространстве на основе статистических данных, генерируемых программой «Модел. вероят. процессов.xls» для заданного варианта. Номер варианта задается преподавателем.

Выполнение задания.

В соответствии с заданием процесс представляет собой неизвестную функцию Y (функцию отклика) аргументами которой являются два фактора Х₁ и Х₂. Априорно известно, что функция Y гладкая, непрерывная и определена в области положительных значений. Реализация математической модели процесса осуществлена в программе «Модел. вероят. процессов.xls». С помощью этой программы можно производить численные эксперименты с заданной моделью в заданных пределах факторного пространства. По условиям рассматриваемого варианта математической модели этой программы фактор Х₁ может изменяться в пределах от 4 до 14, а фактор Х₂ – в пределах от 8 до 20.

Выбор первоначальной подобласти исследования

Рассмотрим вопрос выбора подобласти исследования, используемой для определения градиента. На рис. 1 приведено графическое изображение области, в пределах которой рассматривается функция отклика в данном примере.

В связи с отсутствием каких-либо предварительных данных о функции отклика, в качестве начальной точки при поиске экстремума выберем точку 0, лежащую в центре области факторного пространства (рис.1) с координатами (Х₁=9, Х₂=14). Эта точка будет нулевым уровнем в первоначальной подобласти факторного пространства.

Следующим шагом является выбор размеров подобласти и определение кодированных значений уровней факторов по формуле

где – натуральное значение фактора; – натуральное значение основного уровня; - интервал варьирования; i – номер фактора.

В качестве размеров этой подобласти, примем 1/10 часть области факторного пространства по Х₁ и по Х₂.

Это составит, соответственно, (14–4)/10=1 и (20–8)/10=1,2. При этом интервал по Х₁ равен 1/2=0,5, по Х₂ 1,2/2=0,6. Нижний уровень фактора в указанной подобласти Х₁ равен 9–0,5=8,5 (кодированное значение -1), а верхний 9+0,5=9,5 (кодированное значение +1). Нижний уровень фактора Х₂ в этой подобласти равен 14–0,6=13,4 (кодированное значение -1), а верхний 14+0,6=14,6 (кодированное значение +1). Отметим, что указанный выбор пока ничем не обоснован. Критерием правильности выбора является адекватность математической модели, используемой для аппроксимации функции Y. Указанные параметры подобласти факторного пространства (прямоугольник с точками 1, 2, 3, 4) приведены на рис. 1.

В связи с тем, что количество факторов сравнительно мало, используем полный факторный эксперимент типа 2². В качестве математической модели функции отклика в выбранной подобласти факторного пространства принимаем полином первой степени адекватность которой достигается выбором соответствующих размеров исследуемой подобласти пространства.

Рис. 1. Иллюстрация области и подобласти факторного пространства. 0, 1, 2, 3, 4 – номера точек, используемых при планировании экспериментов.