6. Многоступенчатая выборка

Многоступенчатая выборка предполагает извлечение из генеральной совокупности сначала укрупненных групп единиц, затем групп, меньших по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы (серии) или отдельные единицы, которые будут подвергнуты наблюдению. Выборка может быть двухступенчатой, когда генеральная совокупность разбивается на группы и производится отбор групп, а затем внутри групп — отбор единиц наблюдения. На обеих ступенях отбор может вестись в случайном порядке.

В отличие от типического отбора, где отбор производится из всех без исключения групп, при многоступенчатом отборе производится отбор самих групп, и, следовательно, не все они попадают в выборку.

Число ступеней отбора может быть и более двух. Если число ступеней отбора больше двух, то средняя ошибка выборки определяется по формуле

µ = ,

где µ₁, µ₂, µ₃, …….- средние ошибки выборки на отдельных ступенях отбора,

n₁, n₂, ……. - численность выборок на соответствующих ступенях.

7. Многофазная выборка

При многофазной выборке выборочные совокупности образуются так, что одни сведения собираются от всех единиц отбора, затем отбираются еще некоторые единицы, которые и обследуются по более широкой программе. Расчет ошибки многофазной выборки производится для каждой фазы в отдельности.

8. Малые выборки

Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n < 30), принято называть малыми выборками. Они обычно применяются в том случае, когда невозможно или нецелесообразно использовать большую выборку (исследование качества продукции, если это связано с ее разрушением, в частности на прочность, на продолжительность срока службы и т. д.).

Предельная ошибка малой выборки определяется по формуле

Средняя (стандартная) ошибка малой выборки:

,

где S² – дисперсия малой выборки:

,

где х_ср. – среднее значение признака по выборке,

n-1 – число степеней свободы (n -1 = k ),

t – коэффициент доверия малой выборки, зависящий не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки.

Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле

,

где S_(t) – значение функции Стьюдента.

Для расчета коэффициента доверия t определяют значение функции S_(t) по формуле

S_(t) = (Р+1)/2,

где Р – величина доверительной вероятности.

Затем по таблице распределения Стьюдента (смотри статистические таблицы) в зависимости от значения функции S_(t) и числа степеней свободы k (k = n-1) определяют значение t.

Функция S_(t) используется также для определения вероятностей того, что фактическое нормированное отклонение не превзойдет или превзойдет табличное значение.

Вероятность того, что фактическое отношение (t_ф) не превзойдет по абсолютной величине табличное значение (t), определяется по формуле

.

Вероятность того, что фактическое отношение (t_ф) превзойдет по абсолютной величине табличное значение (t), определяется по формуле

.

Пример. 5.

Из партии электроламп произведена малая выборка (отбор случайный, бесповторный) для определения продолжительности срока службы ламп. Результаты выборки даны в табл. 4.8.

Табл. 4.8.

№1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Срок службы, час 1450	1370	1250	1400	1360	1420	1400	1320	1300	1430

На основе приведенных данных требуется:

1. определить доверительные интервалы, в которых заключена средняя продолжительность службы ламп для всей партии, гарантируя результат с вероятностью 0,99;

2. определить вероятность того, что средний срок службы ламп для всей партии отличается от полученного по выборке не более чем на 40 ч.

Решение

1. Доверительные интервалы для генеральной средней:

, ,

Для расчета S использована вспомогательная табл. 4.9.

х_ср. = 13700/10 = 1370 ч; S = = 63.42 ч; = 20,06

Для определения t сначала исчисляется S_(t) :

S_(t) = (Р + 1)/2 = (0,99 + 1)/2 = 0.995.

Табл. 4.9.

Номер лампы	Срок горения	x-xср.	(х-хср.)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1450 1370 1250 1400 1360 1420 1400 1320 1300 1430	80 0 -120 30 -10 50 30 -50 -70 60	6400 0 14400 900 100 2500 900 2500 4900 3600
Итого	13700	0	36200

По статистическим таблицам при к = п - 1 = 10 - 1=9 и S_(t) = 0,995 имеем t = 3,2.

Тогда = х_ср. ± t * µ_м.в. = 1370 ± 3,2 * 20,06 = 1370 ± 64,2.

Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что генеральная средняя колеблется в пределах от 1305,8 до 1434,2 час.

2. Для определения вероятности отклонения генеральной средней от выборочной средней не более, чем на 40 ч, имеются следующие данные:

= 40 ч; = 20,06 (см. п.1).

Отсюда

t_ф = = 40/20,6 = 1,994 2,0.

Пользуясь таблицей распределения Стьюдента, определяется значение функции S_(t) при t — 2,0 и k = 10 - 1 = 9, имеем - S_(t) = 0,962.

Вероятность того, что отклонение генеральной средней от выборочной средней не превзойдет 40 ч:

= 2 S_(t) - 1 = 2*0,962 – 1 = 0,924

Вероятность того, что ошибка будет превышать 40 ч:

= 2[1- S_(t)] = 2[1-0,962] = 0,076.

Следовательно, вероятность отклонения генеральной средней от выборочной средней по абсолютной величине, превышающей 40 ч, очень мала.

15