Области определения функций с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами
Перед изучением параграфа рекомендую вновь вернуться к первой статье о графиках, чтобы освежить визуальную и аналитическую информацию о перечисленных в заголовке функциях.
Если
в некоторую функцию входит 
,
то из её области определения исключаются
точки 
,
где Z –
множество целых чисел. В частности, как
отмечалось в статье Графики
и свойства элементарных функций,
у функции 
выколоты
следующие значения:
То
есть, область определения тангенса: 
.
Найти
область определения функции
Решение:
в данном случае 
и
в область определения не войдут следующие
точки:
Скинем
«двойку» левой части в знаменатель
правой части:
В
результате 
:
Ответ:
область определения: 
.
В
принципе, ответ можно записать и в виде
объединения бесконечного количества
интервалов, но конструкция получится
весьма громоздкой:
Аналитическое
решение полностью согласуется
с геометрическим
преобразованием графика:
если аргумент функции умножить на 2, то
её график сожмётся к оси 
в
два раза. Заметьте, как у функции
уполовинился
период, и точки
разрываучастились
в два раза. Тахикардия.
Похожая
история с котангенсом. Если в некоторую
функцию входит 
,
то из её области определения исключаются
точки 
.
В частности, для функции 
автоматной
очередью расстреливаем следующие
значения:
Иными
словами: 
Найти
область определения функции
Решение:
составим двойное неравенство:
Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».
Сначала
избавимся в средней части от константы,
для этого вычтем из каждой части
неравенства «тройку»:
Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знакисамих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:
Умножим
все части неравенства на
:
Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке, а то по-арабски как-то получилось – от «единицы» до «двух» справа налево.
Ответ:
область определения: 
или 
Асимптоты графика функции
1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида , где «альфа» – действительное число. Популярная представительница определяет саму ось ординат
2) Наклонные
асимптоты традиционно
записываются уравнением
прямой с
угловым коэффициентом 
.
Иногда отдельной группой выделяют
частный случай –горизонтальные
асимптоты 
.
Например, та же гипербола с асимптотой 
.
Сколько асимптот может быть у графика функции?
Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.