Область определения функции с логарифмом
Третья
распространённая функция – логарифм.
В качестве образца я буду рисовать
натуральный логарифм, который попадается
примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая
функция содержит логарифм 
,
то в её область определения должны
входить только те значения «икс», которые
удовлетворяют неравенству
.
Если логарифм находится в знаменателе: 
,
то дополнительно накладывается
условие 
(так
как 
).
Найти
область определения функции
Решение:
в соответствии с вышесказанным составим
и решим систему:
Графическое
решение для чайников:
Ответ:
область определения: 
Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.
Найти
область определения функции
Как
видите, в царстве логарифмов всё очень
похоже на ситуацию с квадратным корнем:
функция 
.
определена
на интервалах 
,
а функция 
на
интервале 
.
Неловко уже и говорить, функции
типа 
определены
на всей числовой прямой.
Полезная
информация:
интересна типовая функция 
,
она определена на всей числовой прямой
кроме точки 
.
Согласно свойству логарифма 
,
«двойку» можно вынести множителем за
пределы логарифма, но, чтобы функция не
изменилась, «икс» необходимо заключить
под знак модуля: 
.
Вот вам и ещё одно «практическое
применение» модуля = ). Так необходимо
поступать в большинстве случаев, когда
вы снОсите чётную степень,
например: 
.
Если же основание степени заведомо
положительно, например, 
,
то в знаке модуля отпадает необходимость
и достаточно обойтись круглыми
скобками: 
.
Найти
область определения функции
Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.
Подкоренное
выражение должно быть неотрицательным: 
,
а выражение под знаком логарифма –
строго положительным: 
.
Таким образом, необходимо решить
систему:
Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.
Исследуя
расположение параболы 
относительно
оси
,
приходим к выводу, что неравенству 
удовлетворяет
интервал 
(синяя
штриховка):
Неравенству
,
очевидно, соответствует «красный»
полуинтервал 
.
Поскольку
оба условия должны выполняться одновременно,
то решением системы является пересечение
данных интервалов. «Общие интересы»
соблюдены на полуинтервале 
.
Ответ:
область определения: 
Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.
Найденная
область определения не изменится для
«похожих функций», например, для 
или 
.
Также можно добавить какие-нибудь
непрерывные на 
функции,
например: 
,
или так: 
,
или даже так: 
.
Как говорится, корень и логарифм – вещь
упрямая. Единственное, если одну из
функций «сбросить» в знаменатель, то
область определения изменится
Найти
область определения функции
Решение:
составим и решим систему:
Все
действия уже разобраны по ходу статьи.
Изобразим на числовой прямой интервал,
соответствующий неравенству 
и,
согласно второму условию, исключим две
точки:
Значение 
оказалось
вообще не при делах.
Ответ:
область определения 