Как исследовать функцию и построить её график?

1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.

2) Асимптоты графика функции.

3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

Как найти область определения функции? Примеры решений

 Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной  . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример: Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:  (для тех, кто позабыл:   – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала  , или из  , или из  , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал   и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Область определения функции, в которой есть дробь

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь  . Как вы знаете, на ноль делить нельзя:  , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде    и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:

Пример 1

Найти область определения функции 

Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:

Полученное уравнение имеет два корня:  . Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте   или   в функцию   и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Ответ: область определения: 

Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений  ». Значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание, а фигурные скобки – множество. Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:

Найти область определения функции 

Решение: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.

Ответ: область определения: 

Область определения функции с корнем

Функция с квадратным корнем   определена только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно:  . Если корень расположился в знаменателе  , то условие очевидным образом ужесточается:  . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: 

Найти область определения функции 

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с  неравенствами, известные ещё со школы.

Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то есть для нас существует только одна размерность по оси  . Пожалуйста, не путайте с неравенствами двух переменных, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».

В неравенстве   перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на   (правило №2):

Ответ: область определения: 

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при  ». Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае: Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции   существует только на заштрихованном участке и отсутствует при  .

В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось   и делать пометки.