39.Количественные методы системного анализа. [ консп. 29 ]

В основе сравнительные численные оценки.

Кол. Методы – задачи и модели математич. Программирования.

max E = F(x,y) при ограничениях gi(x,y)<=bi i=1,2...m

E = F(x,y) – целевая ф-ция

x,y – векторы управления переменных

Выделяют

• нелинейное

• линейное

• динамическое

• эвристическое (ф-ция недоопределена)

• стихостическое (ф-ция случайна)

40 Задачи теории игр

Метод мат. программирования - E=F(x,y)

В зависимости от вида ф-ции выделяют:

1-линейное

2-динамическое

3-эвристическое

4-схоластическое программирование

Разработка методов в задачах с min перебором впервые проведены в СССР(Коштарович). Если ф-ция нелинейна, то это задача нелинейного программирования.

Задачи «теории игр» – несколько игроков, преследующих противоположные цели.

Пример – «Полицейские и воры»:

В магазине есть 2 зала, причем в зале А всегда больше покупателей, чем в В. Двое ментов несут дежурство. Стратегия несения службы различна + имеется телевизионная установка. Они накапливает статистику поимки:

А В

ТТ 0.51 0.75 х1

АА 0.64 0.36 х2

ВВ 0.19 0.91 х3

ТА 0.58 0.60 х4

ТВ 0.37 0.85 х5

АВ 0.46 0.76 х6

у1 у2

Для ментов соотношения будут иметь вид: х1+х2+х3+х4+х5+х6=1

| 0.51х1+0.64х2+0.19х3+0.58х4+0.97х5+0.46х6 >= 

| 0.75х1+0.36х2+0.91х3+0.60х4+0.85х5+0.76х6 >= 

Для стратегии воров:

у1+у2 = 1

| 0.53у1+0.75у2 <= 

| 0.64y1+0.36y2 <= 

| 0.91y1+0.19y2 <=

| 0.58y1+0.60y2 <=

| 0.37y1+0.85y2 <=

| 0.46y1+0.76y2 <= 

y2 = 1-y1

| =0.75-0.24y1

| =0.36-0.28y1

| =0.91-0.72y1

| =0.60-0.02y1

| =0.05-0.48y1

| =0.76-0.38y1

Т.о. выбирая стратегию у1=0.8 и у2=0.2 вор имеет min вероятность задержания = 0.584

Для стратегии ментов х2 = 1/15 и х1 = 14/15 , т.е. в итоге, если оба мента проводят 1/15 времени в зоне А а 14/15 времени один из них в зоне В а другой в зоне А, то вероятность поимки вора max = 0.584

41 Клеточно-автоматная модель. Описание однородных сред.

Клеточные автоматы.

Клеточными автоматами принято называть сети из элементов, меняющих своё состояние в дискретные моменты времени по определённому закону в зависимости от того, каким было состояние самого элемента и его ближайших соседей по сети в предыдущий момент времени. Для указания связи между элементами нужно для каждого элемента задать группу элементов, которые являются его ближайшими соседями. Состояние элемента характеризуется некоторой переменной, которая может быть целым числом, действительным числом, или вектором.

Если рассматривать однородные клеточные автоматы, то элементы в сети и связи между ними одинаковы. Тогда правила перехода в новое состояние должны быть одинаковыми для любого из элементов. Закон перехода может иметь вид:

aj,n+1 = F( aj,n , aj1,n , ... ajk,n ),

где aj,n+1 - состояние j-го элемента в момент времени n+1; aj,n - состояние j-го элемента в момент времени n; aj1,n,...

ajk,n - состояния ближайших соседей (от 1 до k) в момент времени n.

При таком определении клеточный автомат не обладает памятью. Клеточный автомат с памятью можно получить, предположив, что функция F зависит, например, так же от состояния элемента aj,n-1 в ещё более ранний момент времени.

Приведённые общие определения не предполагают регулярность сети. Может случайно варьироваться число связей отдельного элемента, т.е. число его ближайших соседей. Для рассмотрения сред следует ограничиться лишь регулярными сетями, элементы

которых занимают узлы правильной решётки (простая квадратная или кубическая пространственная).

Если описывать исследуемую систему в виде клеточного автомата, то элементы этой системы удобно объединить в сеть в виде правильной кубической пространственной решётки. Тогда состояние каждого элемента сети будет зависеть от состояния

четырёх соседних по отношению к нему элементов.

Моделирование сплошных сред.

Традиционно имитационное моделирование применялось при исследовании сложных систем, состоящих из дискретных элементов, но эти же подходы можно применить при исследовании непрерывных (сплошных) сред и систем, в которых явно не выделяются компоненты из которых эта система состоит. Для этого все непрерывные параметры исследуемой среды (время,

пространство и др.) заменяются дискретными. Чем меньше шаг дискретизации этих параметров, тем более точные должны быть результаты решения. Таким образом осуществляется переход от системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы в непрерывной среде к системе алгебраических уравнений, которые описывают состояние некоторой точки среды в некоторый момент времени исходя из состояния этой точки в предыдущий момент времени и состояния соседних точек в предыдущий и данный момент времени. Например, уравнение, описывающее распространение волны со скоростью C вдоль оси X:

U U

-------- + C -------- = 0

t x

Для численного решения его можно заменить следующим:

Uj,n+1 - Uj,n Uj+1,n - Uj,n

---------------- + C ----------------- = 0 ,

t x

где t - шаг дискретизации по времени; x - шаг дискретизации по пространству; Uj,n - значение исследуемого параметра в

момент времени n в точке с координатой j; Uj,n+1 - значение исследуемого параметра в момент времени n+1 в точке с

координатой j; Uj+1,n - значение исследуемого параметра в момент времени n в точке с координатой j+1.

С другой стороны дискретизация пространства является ничем иным, как разбиением его на ряд элементов. Т.е.

представлением некоторой среды в виде сложной системы, состоящей из большого числа однотипных компонент с одинаковыми

размерами и связями между собой. Полученная модель системы совпадает по описанию с клеточными автоматами.

Параметры клетки.

Параметры клетки это - вектор числовых значений, характеризующий состояние данной клетки модели в текущий момент времени. Каждое число из этого вектора может соответствовать некоторому физическому параметру реальной (или нереальной)

исследуемой сплошной среды (влажность, температура, давление и др.). Количество, символическое название параметров (чему это число соответствует) и диапазон значений задаётся пользователем на первом этапе создания модели и не может быть

изменено. Для моделирования клеточного автомата требуется хранить такой вектор для каждой клетки.

Начальные значения параметров клетки должны быть заданы пользователем перед запуском модели. Они изменяются в процессе моделирования и могут непосредственно редактироваться пользователем в любой момент. Всё это можно наблюдать

визуально. Закон изменения параметров в процессе моделирования (функционирование клеточного автомата) также определяется пользователем.