Министерство высшего и среднего специального образования БССР

Минский радиотехнический институт

Кафедра автоматической электросвязи

В.А. Овсянников, М.Ю. Хоменок

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по курсу «Теория передачи сигналов» для студентов специальностей

«Автоматическая электросвязь» и «Многоканальная электросвязь»

Часть III

Минск 1986

Овсянников В.А., Хоменок М.Ю., Лабораторный практикум по курсу«Теория передачи сигналов» для студентов специальностей «Автоматическая электросвязь» и «Многоканальная электросвязь»

Настоящий лабораторный практикум предназначен для студентов специальностей «Автоматическая электросвязь» и «Многоканальная электросвязь». В лабораторном практикуме изложены методические указания по выполнению лабораторной работы № 3 «Оптимальный прием. Обнаружение» и лабораторной работы № 4 «Оптимальный прием. Распознавание» по разделу «Оптимальный прием дискретных сообщений» курса «Теория передачи сигналов».

Ил.15, табл.3, список лит. 5 назв.

Рецензент В.В. Гущин

0=102-85

© Минский радиотехнический институт, 1986

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЁМА СИГНАЛОВ

НА ФОНЕ ПОМЕХ, ОБНАРУЖЕНИЕ, РАСПОЗНАВАНИЕ…

Цель работы:

1. Ознакомление с методами и алгоритмами оптимального приёма сигналов на основе согласованных фильтров.

2. Экспериментальное исследование зависимостей вероятностей правильных и ложных решений от отношения сигнал-шум и пороговых уровней.

Краткие теоретическое сведения

1. В дискретных системах связи сообщение представляет собой последовательность элементов из конечного алфавита {х₁,...,х_n}, и каждый элемент сообщения х_i передается соответствующим сигналом S_i(t), i=1,...n. Эти сигналы различаются параметрами (или формой), но имеют ограниченную энергию и укладываются в общую полому частот канала связи. В приёмном устройстве канала по принятому колебанию восстанавливается элемент сообщения х_i. Приёмник необходимо рассматривать как решающее устройство – он должен фиксировать номер переданного элемента алфавита. Однако, наличие помех в реальных каналах связи может приводить к ошибочным решениям. Точнее, при неизменных условиях передачи статистика (вероятность) ошибочных решений всегда будет определенной. Тогда задача заключается в организации такого способа передачи (приёма) сообщений, который сведёт вероятность ошибочных решений (или эффект, связанный с ошибочными решениями) до возможного минимума. Тем самым будет обеспечена максимально возможная верность (точность) передачи сообщения.

Наиболее характерным построением системы связи является передача информации в форме двоичных сигналов, т.е., когда в процессе передачи используются два сигнала S_i(t), i=1,2. Рассмотрим основные элементы теории приёма в этом случае. При этом полагаем, что: сигналы S_i(t) имеют одинаковую длительность ; параметры сигналов фиксированы и известны в точке приёма; передающее и приёмное устройство работают синхронно (так называемый когерентный приём). Канал характеризуется только лишь аддитивной помехой ξ(t). Более общая постановка задачи и её обсуждение даны в [1].

На практике передача информации в форме двоичных символов может быть реализована как с использованием двух различных сигналов S₁(t)≠0, S₂(t)≠0 (так называемая передача с активной паузой, например, применение манипулированных на частоте или фазе колебаний), так и с использованием только одного сигнала S₂(t)≠0, S₁(t)=0 (это случай передачи с пассивной паузой, например, в амплитудной телеграфии). Чтобы подчеркнуть различие этих ситуаций, задачу, решаемую приёмником в первом случае, называют распознаванием сигналов, во втором случае – обнаружением сигнала. Обе задачи можно рассматривать с единых теоретических позиций. Для перехода к частному случаю – обнаружению – достаточно в приведенных ниже формулах один из сигналов считать равным нулю.

2. В основу построения приёмника положен критерий оптимальности, который сводит до возможного минимума эффект, связанный с ошибочными решениями. Приёмник, удовлетворяющий такому критерию для заданных сигналов, канала и помех называют оптимальным. Наиболее общим является критерий минимального среднего риска (критерий Байеса), суть которого заключается в следующем. Неопределенность ситуации на входе приёмника в течение произвольного отрезка времени , можно выразить в виде гипотез H_i относительно переданного сигнала:

S₁(t) + ξ(t); H₁

Y(t) = (1)

S₂(t) + ξ(t); H₂

Приёмное устройство должно дать ответ, какая из рассматриваемых гипотез справедлива. Решения приёмника условно обозначим номерами «1» и «2», соответствующими номерам элементов сообщения. Как отмечалось, влияние помех ξ(t) может приводить к ошибочным решениям. Пусть: P(j/H_i) – условная вероятность решения с номером j, когда истиной являлась гипотеза H_i; C(j/H_i) – коэффициенты, учитывающие потери (в некоторых относительных единицах), связанные с данными решениями; P_i – априорная вероятность с возможными ошибочными решениями, можно выразить в виде так называемого среднего риска:

R = P₁C(2/H₁)P(2/H₁) + P₂C(1/H₂)P(1/H₂) (2)

При этом полагается, что потери отсутствуют: C(i/H_i) = 0, i = 1,2, если решение правильно.

Как видно из (2), здесь учитываются свойства канала (в виде вероятности P(j/H_i)), сигналов (в виде вероятностей P_i) и ограничения, накладываемые на приёмник (в виде коэффициентов C(j/H_i)). Приёмник называют оптимальным в смысле критерия Байеса, если он обеспечивает минимально возможное значение R.

Как показывает анализ, критерий Байеса реализуется, если приёмник принимает решения в соответствии с правилом

(3)

Здесь L[y] – так называемый функционал отношения правдоподобия, он определяется отношением

, (3')

где P[y(t)/H_i] – условный функционал плотности распределения вероятностей случайного процесса Y(t). Правая часть d₀ в (3) является фиксированной величиной, её называют порогом сравнения. Этот порог определяется отношением

(3'')

т.е. зависит только от априорных данных. Наиболее простой вариант значений этих данных: Р₁=Р₂=0.5, С(2/Н₁)=С(1/Н₂)=С.

В этом случае d₀ = I, а соответствующий минимизируемый показатель (2) вырождается в вероятность ошибки (считаем C=I):

P_ош = [P(2/H₁)+P(1/H₂)] (4)

Выбор (задание) того или иного значения d₀ определяет стратегию принятия решения (подробно см.[1]).

Итак, определена в общих чертах структура оптимального приёмника: он включает вычислитель отношения правдоподобия и схему сравнения с порогом. Если для конкретной реализации y(t) колебания на входе приёмника значение L[y(t)] превысит порог d₀, то на выходе приёмника фиксируется решение «2», в противном случае – решение «1». Так как сигналы принимаются на фоне помех, то от реализации к реализации значение L[y(t)] является случайным (т.е., L[y(t)] – случайная величина). Зная закон распределения этой случайной величины, можно определить вероятности ошибочных решений:

Р(2/Н₁) = Вер {L[y(t)] > d₀ / H₁};

(5)

P(1/H₂) = Вер {L[y(t)] < d₀ / H₂}.

Подчеркнем, что в общем случае только порог (3'') обеспечивает минимально возможные значения рисков по каждому из решений, следовательно, и минимальный средний риск (2). Соответственно, в случае d₀ = 1 только этот порог минимизирует обе вероятности (5), следовательно, и полную вероятность ошибки (4).

3. Как было показано, одной из основных операций в приёмнике является вычисление отношения правдоподобия (3'). Для сигналов S_i(t), известных точно, этот функционал определяется вероятностными характеристиками помехи ξ(t). В реальных каналах связи наиболее характерными являются помехи с гауссовыми распределениями. В этом случае полагая, что ξ(t) – нормальный стационарный случайный процесс с нулевым матожиданием и корреляционной функцией В_ξ(t,t^') = Mξ(t)ξ(t^') = B_ξ(t-t^'), можно получить

(6)

Здесь функция φ(t) определяется интегральным уравнением

(7)

Теперь основной алгоритм (3) принятия решений можно уточнить. Логарифмируя обе части в (3) и используя (6)¹, окончательно получаем эквивалентное правило:

, (8)

где

.

Здесь скобками (…) обозначено скалярное произведение функций. Теперь структуру оптимального приёмника можно представить в виде, приведенном на рис.1.

Рис.1.

В схеме используются перемножитель, интегратор и вычитающее устройство; стрелками на выходе указаны возможные решения (при выполнении соответствующих условий). Как видно, остается пока неопределенной функция φ(t). Её называют весовой. Общее решение интегрального уравнения (7) можно получить только в спектральной области. Преобразование по Фурье левой и правой частей приводит к алгебраическому уравнению и в результате имеем (точками обозначены комплексные функции):

(9)

где , и - преобразования Фурье соответственно временных функций y(t), ∆S(t) и B_ξ(τ). Таким образом, спектр весовой функции y(t) определяется отношением комплексного спектра разностного сигнала ∆S(t) и энергетического спектра помехи ξ(t).

На практике характерным является случай приёма сигналов на фоне широкополосных помех. Пренебрегая неравномерностью спектральной интенсивности G_ξ(ω) помехи в полосе сигналов, можно считать, что G_ξ(ω) = G₀. Теперь функция y(t) находится в явном виде

, (10)

т.е. определяется формой разностного сигнала. Данный случай приводит к так называемой согласованной фильтрации (подробно см. п.п.4,5), при этом все характеристики приёмника можно выразить через параметры сигналов.

4. Рассмотрим энергетические соотношения и качественные показатели оптимального приёмника, основанного на алгоритме (8). Так как вид основных операций определен, то можно анализировать потенциальные возможности приёмника. Предварительно рассмотрим характер статистики γ = Г[Y(t)] для гипотез Н₁ и Н₂. Формально имеем

(S₁,φ) + (ξ,φ) = m₁+η; H₁

γ = (Y,φ) = (11)

(S₂,φ) + (ξ,φ) = m₂+η; H₂

Здесь m_i = (S_i,φ), i = 1,2 – величина с фиксированными значениями, называемые сигнальными составляющими; η = (ξ,φ) – случайная величина, которую называют помеховой составляющей. Для нормальных случайных процессов ξ(t) случайная величина η имеет также нормальное распределение и в рассматриваемом случае характеризуется нулевым матожиданием (M_η = M(ξ,φ) = (Mξ,φ) = 0) и дисперсией (используем (7)):

Следовательно, условное распределение статистики γ (для соответствующих гипотез H_i) имеет вид

, где (12)

m_i = (S_i,φ); ; i = 1,2.

В соответствие с алгоритмом (8) вся область значений статистики разбивается на два участка таким образом, что для принимает значение «1», а для - решение «2». Граница этих участков, т.е. пороговый уровень U_n, с учетом приведенных обозначений, имеет вид:

(13)

Ясно, что большой «удаленности» центров m_i распределений (12) будет соответствовать и большая вероятность правильных решений. Для гауссовых статистик (11) достаточной мерой их «удаленности» является отношение

(14)

По определению ρ является положительной величиной. Этот показатель как отношение квадрата сигнальной составляющей к дисперсии помеховой составляющей на выходе линейной части приёмника (до пороговой схемы) называют отношением сигнал/шум (ОСШ) приёмника. С учетом обозначений в (12) имеем

(14^')

и считаем, что m₂ ≥ m₁. Теперь можно определить в явном виде вероятности правильных или ошибочных решений. Так, для вероятностей (5) соответственно имеем

(15)

где использован стандартизованный интеграл вероятностей

Рассматриваемые характеристики изображены на рис.2.

На рис.2а представлены плотность распределения вероятностей статистики γ для гипотез Н₁ и Н₂. Площади заштрихованных участков равны соответствующим вероятностям ошибочных решений. На рис.2б показана зависимость вероятностей ошибочных решений для произвольного порога U_n. Видна характерная особенность однопороговой схемы принятия решений: с изменением порога (при фиксированном ОСШ) одна вероятность ошибки падает, другая – растет. Компромиссное соотношение между Р(2/Н₁) и Р(1/Н₂) устанавливается только порогом, определенным в (13), т.е. арифметическим средним между m₁ и m₂ и добавкой, обусловленной априорными данными (d₀). Указанные вероятности ошибочных решений для оптимального порога (13) при данном ОСШ (14) имеют вид

(16)

Таким образом, качественный показатель приёмника в общем виде (2) определяется двумя параметрами – d₀ и ρ².

В частности, при d₀=1 (критерий максимального правдоподобия), что характерно при передаче информации в двоичной форме, показателем качества является вероятность ошибки (4). Используя (16) с d₀=1 и свойство функции распределения

(17)

Дальнейшие результаты связаны с анализом ОСШ. В случае согласованной фильтрации, например для весовой функции (10), из (14) следует

(18)

где означает квадрат нормы функции, т.е. энергию

Таким образом, в данном случае ОСШ определяется отношением энергии разностного сигнала к спектральной плотности мощности шума. Полагая, что энергии сигналов S₁(t) и S₂(t) равны, т.е. , из (18) получим

(19)

Максимально возможное ОСШ ρ = 4ρ_о получается при S₁(t)=-S₂(t), т.е. когда сигналы различаются только полярностью (знаком). В случае ортогональных сигналов (ρ₁₂=0) ОСШ равно ρ=2ρ₀. В случае обнаружения (S₁(t)=0) имеем ρ=ρ_о. Ясно, что вариации ОСШ приводят и к изменению вероятности ошибок (см. (17)). Это может быть использовано при оценке помехоустойчивости различных способов передачи двоичной информации.

5. рассмотрим варианты построения линейной части оптимального приёмника в случае широкополосной помехи на входе. В литературе этот случай называют приёмом сигналов на фоне «белого» (или «квазибелого») шума.

Предварительно уточним алгоритм (8) для этого случая. Для параметров m_i, i=1,2 (12) с учетом (10) получим

;

Теперь пороговый уровень (13) имеет вид

Далее, расчленив правую и левую части алгоритма (8), получим эквивалентное правило

(20)

Для характерной ситуации передачи двоичной информации (d₀=1, E₁=E₂=E) имеем

(21)

т.е. основной алгоритм распознавания сигналов сводится к сравнению скалярных произведений. В случае обнаружения сигнала (передача с пассивной паузой) при тех же условиях (d₀=1, E₁=0, E₂=E) получаем алгоритм

«2»

, (22)

«1»

т.е. сравниваем скалярное произведение с ожидаемой энергией сигнала. Алгоритмы (21) и (22) реализуются схемами, изображенными на рис.3.

а б

Рис.3.

В случае обнаружения (схема рис.3б) решение «2» понимается как наличие сигнала в принятом колебании, решение «1» - его отсутствие.

Схемная реализация линейной части приёмника может иметь ещё один вариант. Перепишем формально статистику i = 1,2 в виде интеграла свертки:

, i = 1,2 (23)

Теперь статистику γ_i можно рассматривать как реакцию линейного четырехполюсника с импульсной характеристикой g_i(t) на входное колебание Y(t). Комплексный коэффициент передачи данного четырехполюсника имеет вид

, i = 1, (24)

Цепь, импульсная характеристика которой является зеркальным отображением (относительно точки t=T/2) сигнала, т.е. g(t)=S(T-t), , и коэффициентом передачи (24), называется согласованным фильтром (СФ). Такой фильтр полностью определяется формой сигнала, амплитудно-частотная характеристика его совпадает с амплитудным спектром сигнала³. Применение фильтров, согласованных с соответствующими сигналами, приводит к схеме приёмников (рис.4).

а б

Рис.4.

В режиме когерентного приёма обе схемы (рис.3 и 4) эквивалентны по выходным параметрам и различаются только реализацией. Принято схемы на рис.3 называть активными фильтрами (или корреляторами), а схемы на рис.4 – пассивными фильтрами. В первом случае сложность связана с применением качественных перемножителей колебаний в широком диапазоне уровней и необходимостью генерировать сигналы в приёмнике; во втором случае трудности возникают только при расчетах физически реализуемых цепей по заданному коэффициенту передачи.

Эффект согласованности фильтрации можно проследить, анализируя реакцию фильтра на полезный сигнал. Если – коэффициент передачи СФ для сигнала S(t) со спектром , то реакция фильтра на этот сигнал можно записать как

(25)

С равенством только при t=T. таким образом, максимально возможное значение выхода СФ равно энергии сигнала, которое достигается только в момент окончания сигнала, которое достигается только в момент окончания сигнала. Наличие максимума можно объяснить когерентным сложением всех спектральных составляющих сигнала в момент t=T. С другой стороны, если g(t) – импульсная характеристика СФ, т.е. g(t)=S(T-t), то реакцию в произвольный момент времени можно записать как

(25')

c равенством B_S(0)=E_S только в момент t=T. Здесь – «корреляционная» функция сигнала. Таким образом, сигнальная составляющая на выходе СФ повторяет по форме «корреляционную» функцию сигнала, максимум которой приходится на момент окончания сигнала.

6. Рассмотрим примеры реализации и особенности согласованных фильтров.