3 Синтез сигналов по дискретным отсчетам

3.1 Обоснование структур устройства

Структура ряда Котельникова, представляющего непрерывную функцию с ограниченным спектром через ее отсчеты, раскрывает механизм восстановления этой функции, если известны ее значения ƒ(n∆t), n=0, ±1, +2,… Устройство синтеза сигналов должно вырабатывать периоди­чески повторяющуюся с периодом ∆t=1/2F_м =π/W_м функцию sin w_мt/ w_мt. амплитудные значения которой изменяются в соответствии с отсчетами синтезируемой функции ƒ(t).

Taким устройством может служить устройство, структура которого представлена на рис. 5 и содержащее идеальный фильтр нижних частот с частотой среза W_c=W_м , на вход кото­рого через блок потенциометров, определяющих веса дельта - функ­ций в соответствии с отсчетными значениями синтезируемого сиг­нала, поступает последовательность единичных импульсов с периодом T=π/w_м. Причем, сигнал на выходе ФНЧ, синтезируе­мый по конечной совокупности отсчетов N. будет периодичес­ким с периодом NT = kΔt.

Рис. 5

Блок потенциометров в совокупности с формирующим уст­ройством (ФУ) и задающим генератором (3Г) является перестраива­емой моделью устройства дискретизации для изучения в лаборатор­ных условиях вопросов качества синтеза сигналов по дискретным отсчетам. Следовательно, функциональная схема лабораторной уста­новки соответствует структуре, приведенной на рис. 6.

Рис. 6

Отклик ФНЧ на воздействие

(34)

определяется в соответствии с обратным преобразованием Фурье

где

(35)

(36)

(37)

- спектральная плотность сигнала на входе ФНЧ, соответствующая амплитудно-модулированной последовательности единичных импульсов,

(38)

- комплексная частотная характеристика идеального ФНЧ; w_c=2πF_c- частота среза ФНЧ. Следовательно, (39)

где h[t-(nT+t0)]- есть отклик ФНЧ на дельта - функцию δ(t-nT), называемой импульсной характеристикой. Закон изменения h[t-(nT+t0)] идеального ФНЧ определяется функцией sint/t, сдвинутой по оси абсцисс на величину (nt+t₀), где t₀ – задержка сигнала в ФНЧ по отношению к входному воздействию, nT- момент поступления n-го дельта - импульса, и соответствует функциям, образующим систему вида (16).

Таким образом, отклик сигнала S_вых(t) ФНЧ определяется с точностью до постоянного множителя K₀w_c/2π суммой импульсных переходных характеристик с весовыми множителями a_n которая соответствует ряду Котельникова для функции, значения которой в отсчетные моменты времени равны весам a_n, если период следования дельта - функций согласован с частотой среза ФНЧ и равен T=Δt=1/2FM. При этом, опре­деляя значения весовых коэффициентов с помощью потенциометров в соответствии с отсчетами синтезируемой функции? на выходе ФНЧ будет восстановлена функция по совокупности дискретных отсчетов.

Спектральное пояснение задачи синтеза непрерывных сигналов по дискретным отсчетам дает рис. 4 , на котором изображены спектр входной амплитудно-модулированной исходным сигналом периодичес­кой последовательности дельта функции и коэффициент передачи ФНЧ, осуществляющий селекцию сигнала в заданной полосе частот. Из анализа спектральных диаграмм следует, что для сигнала с верхней частотой спектра w_м с целью устранения перекры­тия копий сигнала на соседних гармониках несущего колебания (периодической последовательности дельта - функций), приводяще­го к искажениям восстановленного сигнала, частота дискретиза­ции Ω=2П\t должна удовлетворять следующему условию Ω=2π/∆t ≥ 2 w_м. Следовательно, минимальный интервал (период) выберем равным ∆е=1/2F_м , что и утверждается в теореме Котельникова.

3.2 Погрешность восстановления непрерывных сигналов по дискретным отсчетам

Восстановленная функция в точности совпадает ƒ(t) если выполняются следующие условия:

1. Спектр функции ƒ(t) ограничен частотой F_м.

2. В восстановлении функции ƒ(t) участвует бесконечное число отсчетов, т.е. функция ƒ(t) должна быть неограниченна во времени

3. Используется идеальный фильтр нижних частот.

При практическом использовании теоремы Котельникова для восстановления сигнала по дискретным отсчетам необходимо учиты­вать неизбежно возникающие погрешности, связанные с тем, что ни одно из перечисленных выше условий на практике не выполня­ется совершенно точно. Во-первых, все реальные сигналы ограни­чены во времени, следовательно, имеют неограниченные спектры. Поэтому для точного восстановления следовало бы брать отсчеты через t→ 0 , т.е. передавать функцию ƒ(t) без вре­менной дискретизации.

Если интервал дискретизации конечен, то конечна и полоса пропускания фильтра w_c=π/∆t используемого для восста­новления функции по дискретным отсчетам. Ошибка возникает за счет того, что фильтр отсекает все высокочастотные составляю­щие сигнала ƒ(t) имеющие частоты выше w_c.

Во- вторых, даже если спектр функции ограничен, реальные фильтры не обладают бесконечной "памятью", т.е. одновременно обрабатывают конечное число отсчетов. Если фильтр суммирует конечное число входных отсчетов, то ото эквивалентно тему, что на его вход поступает не бесконечная а ограниченная во време­ни функция ƒ(t) длительности Т_с=(m-1)∆t. Эта функ­ция имеет неограниченный спектр. Следовательно, как и в первом случае, ФНЧ устраняет составляющие с частотами w> w_c, что и создает ошибку восстановления.

Характерной особенностью реальных сообщений является то, что они относятся к такому классу функций, у которых вся энер­гия сосредоточена в конечных интервалах времени и полосы час­тот.

Если у сообщения длительностью Т_с ограничить спектр на частоте F_м , то в соответствии с теоремой Котельникова число отсчетов, задающих функцию, равно

(40)

При этом ошибка восстановлении сигнала стремится к нулю по мере роста m и при 2F_м Т_с≥1 и ею можно пренебречь.

В- третьих, выходной сигнал существенно зависит от харак­теристик ФНЧ. Отклонение характеристик реальных ФНЧ от идеальных приводит к появлению дополнительных погрешностей восстановления сигнала, так как в этом случае импульсная характеристика идеального ФНЧ, соответствующая члену ряда Котельникова разло­жения непрерывной функции ƒ(t) будет отличаться от импульс­ной характеристики реального фильтра, что и определит ошибку восстановления.

Приближенность восстановления функции продляется в том, что при коночном числе членов ряда их сумматочно совпадает с мгновенными значениями функции ƒ(t) не на всем интервале времени Т_с а только в точках отсчетов. Уменьшить эту погрешность можно путем увеличения числа членов ряда. Kaк следует из выражения (40), при конечной длительности сообщения Т_с это можно сделать только уменьшая интервал дискретизации ∆t, т.е. увеличивая значение частоты F_м, которой ограничивается спектр сообщения.

Среднеквадратическая ошибка, вызванная указанной погреш­ностью, определяется выражением

(41)

Где

(42)

E – энергия непрерывного колебания ƒ(t),

- энергия колебания (t).

Зависимость величины погрешности |∆E(t)| от времени для сигналов с ограниченным временем показана на рис.7.

Рис. 7

Описание лабораторной установки

Лабораторная работа "Синтез сигналов по дискретным отсчетам" выполняется на рабочем месте, где размещаются:

- генератор звуковой, ГЗ-33;

- лабораторный макет;

- двухлучевой осциллограф, CI-I8.

Схема лабораторного макета структурно выполнена таким об­разом, что соответствует структурной схеме имитатора дискретно­го канала связи с амплитудно - импульсной модуляцией и включает передатчик, эквивалент линии связи (Гн. Гш) и приемник, рчс.8.

Передатчик содержит.:

- задающий генератор (3Г) с частотой следования импульсов 16 кГц;

- формирователь тактовых (стробирующих) импульс в (ФТИ) с частотой следования 4,8,16 кГц (гн. ТШ;)

- амплитудно - импульсный модулятор (АИМ) осуществляющий дискретизацию синтезированного сигнала заданной формы с максимальной частотой спектра 4 кГц, частотам 4,8,16 кГц.

- генератор непрерывного сигнала с максимальной частотой спектр- 4 кГц, включающий генератор отсчетных импульсов (ГОИ), N =16 и ФНЧ с полосой пропускания 4 кГц (гн. Сигнал ПРД) .

На приемной стороне включены ФНЧ-I и ФНЧ-II, характеризую­щиеся различным значением коэффициента прямоугольности АЧХ.

Запуск генератора отсчетных импульсов осуществляется пря­моугольной последовательностью импульсов с частотой следования 8 кГц, поступающей от ФТИ. При атом ГОИ генерирует:

а) одиночные импульсы постоянной амплитуды с частотой сле­дования 0,5 кГц (тумблер IП2 "Одиночн.-Последоват." Установлен в положение "Одиночн.");

б) последовательность из 16-ти отсчетных импульсов с часто­той следования 6 кГц (тумблер П2 "Одиночн.-Последоват." Установлен в положение “Последоват.")

Амплитуды отсчетных импульсов устанавливаются в пределах ±1 В с помощью 16-ти потенциометров установки амплитуд.

Синтезированный сигнал заданной формы с выхода ФНЧ посту­пает на вход АИМ, на другой вход которого подается последова­тельность стробирующих импульсов с соответствующей частотой следования от ФТИ. На выходе АИ формируется последовательность отсчетов непрерывного сигнала заданной формы, спектр которого ограничен максимальной частотой, равной 4 кГц. Сигнал с выхода АИМ через эквивалент линии связи поступает далее на входы ФНЧ-I и ФНЧ II. ФНЧ 1 имеет частоту среза 4 кГц, а ФНЧ II -4,5 кГц. Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ I имеет более прямоугольную форму (т.е. в большей степени приближается к харак­теристике идеального фильтра) по сравнению с характеристикой ФНЧ II.

Рис 8

Кроме отмеченных органов управления, на лицевой панели ма­кета расположены:

-переключатель П I, позволяющий подавать на вход АИМ стробирующие импульсы 4,8,16 кГц от ФГИ;

- тумблер П З "Синус-Импульс" , осуществляющий подключение к входам ФНЧ-I и ФНЧ-П синусоидального сигнала звукового гене­ратора (положение тумблера "Синус") или импульсных сигналов с выхода АИМ (положение тумблера "Импульс”;

- переключатель П4 "Вых ГОИ вых.АИМ-вых.ФНЧ-1-вых,ФНЧ-2, позволяющей подавать на вход "У2" осциллографа сигналы с выхода.

оптимальной частотой спектра 4 кГц, частотами 4,8,16 кГц;

- генератор непрерывного сигнала с максимальной частотой спектра 4 кГц, включающий генератор отсчётных импульсов (ГОИ), N=16 и ФНЧ с полосой пропускания 4 кГц (гн. Сигнал ПРД).

На приемной стороне включены ФНЧ-I и ФНЧ-II, характеризующиеся различным значением коэффициента прямоугольности АЧХ.

Запуск генератора отсчетных импульсов осуществляется прямоугольной последовательностью импульсов с частотой следования 8 кГц, поступающей от ФТИ. При этом ГОИ генерирует:

а) одиночные импульсы постоянной амплитуды с частотой следования 0,5 кГц (тумблер П2 "Одиночн.-Последоват." установлен в положение "Одиночн.");

б) последовательность из 16-оти отсчётных импульсов с частотой следования 8 кГц (тумблер П2 "Одиночн.-Послодоват." установлен в положение "Последоват.").

Амплитуды отсчётных импульсов устанавливаются в пределах 1 В с помощью 16-ти потенциометров установки амплитуд.

Синтезированный сигнал заданной формы с выхода ФНЧ поступает на вход АИМ, на другой вход которого подаётся последовательность стробирующих импульсов с соответствующей частотой следования от ФТИ. На выходе АИМ формируется последовательность отсчётов непрерывного сигнала заданной формы, спектр которого ограничен максимальной частотой, равной 4 кГц. Сигнал с выхода хода АИМ через эквивалент линии связи поступает далее на входы ФНЧ-I и ФНЧ-II. ФНЧ-I имеет частоту среза 4 кГц, а ФНЧ-II - 4,5 кГц. Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ-I имеет более прямоугольную форму (т.е. в большей степени приближается к характеристике идеального фильтра), по сравнению с характеристикой ФНЧ-II.

Кроме отмеченных органов управления, на лицевой панели макета расположены:

-переключатель П1, позволяющий подавать на вход АИМ стробирующие импульсы 4,8,16 кГц от ФТИ;

-тумблерП3 “Синус-Импульс”, осуществляющий подключение к входам ФНЧ-I и ФНЧ-II синусоидального звукового генератора (положение тумблера “Синус”) или импульсных сигналов с выхода АИМ (положение тумблера “Импульс”);

-переключатель П4 “Вых ГОИ-вых. АИМ-вых. ФНЧ-I-вых, ФНЧ-II, позволяющий подавать на вход “У2”осциллографа сигналы с выходов ГОИ, АИМ, ФНЧ-I, ФНЧ-II соответственно (гн. Сигнал ПРМ).

Гнёзда ВГ используются для подключения внешнего генератора при измерении амплитудно-частотных характеристик ФНЧ-I и ФНЧ-II. К гнезду “Синхрониз.” Подаётся импульсный сигнал для внешней синхронизации развертки осциллографа. Схема исследования предоставлена на рис. 9.

Рис.9

Домашнее Задание

1. Изучить вопросы представления сигналов обобщённым рядом Фурье по системе ортогональных функций, а также условия представления непрерывных сигналов в виде последовательности дискретных отсчетов. Уяснить метод синтеза непрерывных сигналов

по дискретным отсчетам и причины погрешностей восстановления реальных сигналов.

2. Ознакомиться с описанием лабораторной установки и установить назначение всех элементов лабораторного макета.

3. Рассчитать и свести в таблицу значения отсчетов сигналов

U(t), t[0,T], причём U(t)=U(t+T), указанных в п. 3,5 лабораторного задания. Отсчёты времени брать в моменты времени , , где , N=16.

4. Поcтроить идеальные синтезируемые сигналы согласно п.3.5 лабораторного задания.

5. Построить спектры идеальных синтезируемых сигналов согласно п.4.

6. Построить спектры сигналов, заданных в виде дискретных отсчётов, согласно п.3.

7. Рассчитать и построить импульсную характеристику идеального ФНЧ с граничной частотой кГц.

8. Подготовить формуляр отчёта согласно требованиям к его содержанию.

Лабораторное задание и Методические указания

I. Определить экспериментально амплитудно-частотные характеристики фильтров нижних частот ФНЧ-I и ФНЧ-II в диапазоне частот 0,4 10 кГц.

1.1. Подготовить звуковой генератор (ЗГ) и осциллограф к работе. Собрать схему исследования (рис.9). Включить лабораторный

макет.

1.2. Тумблер ПЗ "Синус-Импульс" макета поставить в положение

"Синус". Подключить вход "У2" осциллографа к выходу ФНЧ-I (положение 3 переключателя 114). Вращая ручку "Рег. выхода" звукового генератора, установить напряжение 3Г на частоте =1 кГц, чтобы амплитуда напряжения на выходе ФНЧ-I была бы равна 1 В, контролируя значение амплитуды по осциллографу.

1.3. Снять нормированную амплитудно-частотную характеристику

фильтра, как отношение амплитуд сигнала на выходе фильтра на текущей частоте и на частоте 1 кГц, задавая значения частоты через 0,2 кГц в диапазоне 0,45 кГц и череп 0,5 кГц в диапазоне частот 510 кГц. Полученные результаты занести в таблицу. Достроить график характеристики в логарифмическом масштабе по оси ƒ и определить коэффициент прямоугольности по формуле

где и - частоты, соответствующие значениям нормированной

характеристики по уровням 0,5 и 0,1.

1.4. Подключить вход "У2" осциллографа к выходу ФНЧ-II (положение 4 переключателя П4) и, вращая ручку "Рег. выхода" звукового генератора, установить напряжение 3 Г на частоте =1 кГц,

чтобы амплитуда напряжения на выходе ФНЧ-II была бы равна I В, контролируя амплитуду напряжения фильтра по осциллографу.

1.5. Повторить п.1.3. для ФНЧ-II.

II. Определить экспериментально импульсную характеристику фильтра нижних частот.

2.1. Тумблер П3 “Синус-Импульс” поставить в положение “Импульс”.

2.2. Тумблер П2 “Одиночн.-Последов.” Поставить в положение “Одиночн.”.

2.3. Наблюдать импульсы на входе фильтров НЧ (положение I переключателя П4) и импульсные характеристики ФНЧ-I, ФНЧ-II, соответственно положения 3 и 4 переключателя П4, ФНЧ генератора непрерывного сигнала (Гн. Сигнал ПРД), зарисовать осциллограммы, обратив внимание на различия импульсных характеристик. Сравнить их с характеристикой идеального ФНЧ.

III. Произвести синтез сигналов.

3.1. Тумблер П2 “Одиночн.-Последоват.” Поставить в положение “Последоват.”.

3.2. Подключить осциллограф к выходу ГОИ (положение 1 переключателя П4).

3.3. Установить рассчитанное значение амплитуд отсчётных импульсов по осциллографу для синтезируемого сигнала.

3.4. Наблюдать синтезируемые сигналы на выходе генератора непрерывного сигнала (Гн. Сигнал ПРД) и на выходах ФНЧ-I и ФНЧ-II (Гн. Сигнал ПРМ) при частоте дискретизации, соответственно равной 4,8,16 кГц (положения 1,2,3 переключателя П1). Зарисовать осциллограммы, обратив внимание на различия синтезированных сигналов в зависимости от частоты дискретизации и характеристик ФНЧ. Сравнить с идеальными сигналами.

3.5. П п.3.3 и 3.4 повторить последовательно для следующих сигналов с параметрами, указанными в таблице приложения 1 согласно варианту, заданному преподавателем:

1) гармонический сигнал , A=1(В)

2) гармонический сигнал , A=1(В)

Сделать выводы о влиянии фазы (временного положения) отсчётов на форму, амплитуду и фазу сигналов, получаемых с помощью ФНЧ-I и ФНЧ-II;

3) периодическая последовательность прямоугольных видео-импульсов

где

T=2мс – период последовательности;

4) периодическая последовательность радиоимпульсов

, где

A=1(В), T=2мс.

Примечание: для IV варианта

где

Сравнить полученные результаты с результатами ПЗ;

5) амплитудно-манипулированный сигнал, аналитическая запись на интервале времени (0,T) имеет вид

где

A=0,6 (В); T=2мс; m=0,5.

Примечание: для IV варианта

где

Объяснить полученные результаты;

6)сигнал с фазой манипуляции на 180, аналитическая запись которого на интервале времени (0,Т) имеет вид

где A=1 (B),

Объяснить влияние ширины полосы пропускания фильтра на форму сигнала;

7) амплитудно-модулированный сигнал

.

Объяснить влияние ширины полосы пропускания фильтра на коэффициент глубины модуляции.

Содержание отчёта

1. Функциональная схема макета.

2. Блок-схема исследования.

3. Таблицы, расчеты и графики, выполненные при домашней подготовке.

4. Таблицы, графики и осциллограммы в одинаковом временном масштабе, полученные при выполнении лабораторного задания согласно пп1.3, 1.5; п.2.3.; п.п.3.3 3.5.

5. Сравнительный анализ данных расчета и эксперимента.

6. Выводы и замечания по результатам исследования.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте условия, при которых сигнал может быть представлен рядом Котельникова.

2.Сформулируйте теорему Котельникова.

3. Поясните, каким образом в лабораторном макете формируется сигнал, удовлетворяющий условиям теоремы Котельникова.

4. Какой вид имеет спектр сигнала, представленного в виде дискретных отсчетов?

5. Дайте спектральное пояснение теоремы Котельникова.

6. Поясните, каким образом может быть восстановлено непрерывное колебание по дискретным отсчетам.

7. Для чего при восстановлении сигнала, представленного в виде суммы отсчетов, применяется идеальный ФНЧ?

8. Объясните принцип и поясните работу генератора непрерывных сигналов произвольной формы.

9. Поясните работу лабораторного макета.

10. Объясните погрешность синтезирования реальных сигналов по дискретным отсчетам.

11. Как зависит погрешность восстановления сигнала, связанная с конечностью пределов суммирования, от времени?

12. Поясните, в чем состоит "избыточность" непрерывного сигнала, спектр которого ограничен.

13. Поясните, каким образом свойство "избыточности" непрерывного сигнала, спектр которого ограничен, можно использовать для передачи нескольких непрерывных сообщений по дискретному каналу связи.

14. Покажите, как выражаются энергия и средняя мощность через последовательность выборок.

15. Используя свойства взаимной заменимости и t в преобразованиях Фурье, сформулируйте теорему, обратную теореме Котельникова, для сигналов, ограниченных во времени. Поясните теорему с помощью графиков, спектров и сигналов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.1 Сов. радио, 1977. - 74-79, 128-132 с.

2. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей. - М.: Высшая школа, 1975. - 39-45 о.

3. Назаров М.В., Кувшинов Б.И., Попов О.В. Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1970. - 34-40 с.

4. Бавыкина В.В. и др.; Под ред. Кащеева Б.Л. Лабораторный практикум по курсу "Радиотехнические Цепи и сигналы". - М.: Высшая школа, 1976. - 31-39 с.

Приложение 1

N	Вид сигнала	Вариант
		1	2	3	4
1.	Гармонический сигнал	=0,5 кГц =0	=1 кГц =0	=2 Гц =0	=4 кГц =0
		=0,5 кГц =	=1 кГц =	=2 кГц =	=4 кГц =
2.	Последовательность видеоимпульсов	=1мс	=1,25мс	=1,5мс	=0,75мс
3.	Последовательность радиоимпульсов	=3 кГц =1мс	=3 кГц =1,25мс	=3 кГц =1,5мс	=0,5 кГц =2мс =0,5 кГц
4.	Амплитудно-манипулированный сигнал (АТ)	=2 кГц =1мс	=2 кГц =1,25мс	=2 кГц =1,5мс	=2 кГц =1мс =4 кГц
5.	Сигнал с фазовой манипуляцией на 180(ФТ)	=2 кГц =1мс T=2мс	=2 кГц =0,5мс T=2мс	=2 кГц =1,5мс T=2мс	=4 кГц =0,25мс T=0,5мс
6.	Амплитудно-модулированный сигнал(АМ)	=4 кГц F=0,5 кГц m=1 A=0,5 В	=4 кГц F=0,5 кГц m=0,5 A= В	=2 кГц F=0,5 кГц m=1 A=0,5 В	=2 кГц F=0,5 кГц m=0,5 A=В

Приложение 2

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1. Основные определения.

Под спектральным (или гармоническим) анализом понимают представление заданного колебания f(t) в виде суммы гармонических колебаний вида с соответствующей амплитудой и фазой , т.е.

, (1)

где -частота первой гармоники;

Т-период колебания f(t).

При k=0 имеет смысл постоянной составляющей сигнала f(t).

Выражение (1) определяет ряд Фурье периодической функции f(t), которая согласно (1) имеет дискретный спектр. Если колебание f(t) будет непериодическим (импульсным), т.е. такое колебание можно рассматривать с периодом , то расстояние между спектральными линиями, определяемое разностью уменьшается до нуля и спектр становится непрерывным. При этом выражение (1) принимает вид

, (2)

где

(3)

называется спектральной плотностью. Спектральная функция не зависит от времени и является комплексной функцией частоты, определённой при положительных и отрицательных значениях последней. Вид спектральной функции зависит только от формы (аналитического выражения) импульса f(t).

Интеграл (2) определяет импульсное колебание f(t) в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах , с амплитудами . Таким образом, |F(jf)| имеет смысл функции спектральной плотности амплитуд гармоник непериодического сигнала.

Выражения (2) и (3) называются интегральными преобразованиями Фурье, причём (3) есть прямое преобразование Фурье, а (2) – обратное преобразование Фурье. Сравнивая выражения (формулы (8), (9), (14) описания) для коэффициентов Фурье ряда (1) периодической функции f(t) и выражение функции спектральной плотности для непериодической функции, определяемой тем же аналитическим выражением, но при , видно, что амплитуды гармоник периодической последовательности импульсов связаны следующим образом со значениями функции спектральной плотности:

при , k=0,1,2,3,… (4)

(физический спектр)

при , (5)

(математический спектр)

При этом фазы гармоник соответственно равны

, при , (6)

Зависимость амплитуд гармоник от частоты называется амплитудным спектром, а зависимость фаз гармоник от частоты называется фазовым спектром. Спектр амплитуд симметричен относительно нулевой частоты, так как спектральная плотность является чётной относительно , т.е. , а спектр фаз определяется функцией нечётной относительно , т.е. .

Спектр (как совокупность гармонических составляющих) периодической последовательности импульсов наглядно можно представить графически в виде спектральной диаграммы. При этом каждую гармоническую составляющую изображают вертикальным отрезком, длинна которого (в некотором масштабе) равна амплитуде составляющей, а местоположение на горизонтальной оси-частоте гармоники. Расстояние между составляющими по частоте равно частоте первой гармоники. Спектральная функция играет роль огибающей амплитуд составляющих спектра.

II Основные свойства интегрального преобразования Фурье.

1.Свойство линейности.

Если

(7)

(8)

То

. (9)

2. Задержка сигнала во времени.

Если

(10)

То

(11)

3. Изменение масштаба времени.

Если

(12)

то

(13)

Где а=const.

4. Преобразование Фурье для произведения двух функций.

Если

, (14)

(15)

то

(16)

при

(17)

5. Свойство взаимной обратимости и t в преобразованиях Фурье.

Если f(t)-функция чётная и (18)

Т.е.

(19)

то заменяя t на , учитывая, что f(t)=f(-t) получаем

(20)

или

, (21)

где есть специальная плотность сигнала F(t), ограниченного во времени.

III. Примеры расчёта спектра сигналов.

1.Спектр гармонического колебания.

(22)

(23)

где .

Соответственно

(24)

С учётом (22) и (24) физический спектр, математический спектр и спектральная плотность гармонического колебания могут быть представлены графически, рис.1-3

Рис.1 Рис.2 Рис.3

1. Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

, (25)

Где

(26)

Тогда

(27)

Рис.4

Следовательно, математический спектр амплитуд гармоник, согласно (5) и (27), определяется выражением

. (28)

Спектр фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов, симметрично расположенных относительно начала системы координат t=0, определяется знаком функции , которая при

k=0,2,4,6,…

принимает положительные значения, что соответствует нулевым значениям фаз гармоник, расположенных в этих интервалах частот, а при k=1,3,5,7,… принимают отрицательные значения, что соответствует тому, что фаза гармоники равна , рис.5. При наличии временного сдвига положения середины прямоугольной посылки относительно t=0, равного , все гармоники, согласно теореме о задержки (10) и (11), имеют дополнительный фазовый сдвиг . Спектр амплитуд при этом не изменяется.

3. Спектр амплитудно-модулированного колебания.

Аналитическое выражение АМ колебания имеет вид

, (29)

где m-коэффициент модуляции;

U(t)-модулирующие колебание;

-несущее колебание.

Рис.5

Пусть U(t) можно представить рядом Фурье

: причём (30)

Тогда, заменив U(t) в (29) рядом (30), физический спектр АМ колебания определится из следующего выражения:

(31) .

Из (31) видно, что огибающая спектра амплитуд гармоник АМ колебания соответствует огибающей спектра модулирующего колебания. Влияние несущего колебания проявляется в том, что спектр модулирующего колебания проявляется в том, что спектр модулирующего колебания смещается вправо по оси частот на величину, соответствующую значению центральной части несущего колебания. Причём физический спектр АМ колебания симметричен относительно , поэтому амплитуды гармоник боковых полос при m=1 в два раза меньше соответствующих гармоник спектра модулирующего колебания. Кроме того, спектр АМ колебания содержит гармоническую составляющую на центральной частоте несущего колебания, рис.6.

Рис.6

28