3. Преобразование случайных процессов в нелинейных цепях

Нелинейные инерционные преобразования рассматриваются в ходе анализа нелинейных цепей, инерционностью которых при заданных воздей­ствиях нельзя пренебрегать. Поведение таких цепей описывается нели­нейными дифференциальными уравнениями, общих методов решения которых не существует. Поэтому задачи, связанные с исследованием нелинейных инерционных преобразований случайных процессов, почти всегда решают приближенно, пользуясь различными искусственными приемами.

Один из таких приемов состоит в представлении нелинейной инерци­онной цепи комбинацией линейной инерционной и нелинейной безынерци­онной цепей. Задача исследования воздействия случайных процессов на линейную цепь рассматривалась выше. Было показано, что в этом случае достаточно просто определить спектральную плотность (или корреля­ционную функцию) выходного сигнала, но сложно - закон распределения. В нелинейных безынерционных цепях основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. При этом общих методов анализа воз­действия случайных сигналов на нелинейные цепи нет. Ограничиваются решением некоторых частных задач, представляющих практический инте­рес.

3.1. Статистические характеристики случайного процесса на выходе нелинейных цепей

Рассмотрим преобразование случайного процесса с одномерной плотностью вероятности нелинейной безынерционной цепью с характеристикой

y= f(x).

Очевидно, что любая реализация случайного процесса x(t) преобразуется в соответствующую реализацию нового случайного процесса y(t), то есть

y(t)= f[x(t)].

А. Определение закона распределения случайного процесса y(t)

Пусть известна плотность вероятности р(х) случайного процесса x(t). Необходимо определить плотность вероятности p(y) случайного процесса y(t). Рассмотрим три характерных случая.

1. Функция y= f(x) нелинейной цепи определяет однозначное со­ответствие между x(t) и у(t). Полагаем, что существует обратная функция х= (у), которая также определяет однозначное соответствие между y(t) и x(t). В этом случае, вероятность нахождения реализации случайного процесса x(t) в интервале (x₀, x₀+dx) равна вероятности нахождения реализации случайного процесса y(t)=f[x(t)] в интервале (y₀, y₀+dу) при y₀= f(x₀) и y₀+dy= f(x₀+dx), то есть

p(x)dx= p(y)dy

Следовательно,

p(y)= .

Производная взята по абсолютной величине потому что плотность вероятности р(у) > 0, в то время как производная может быть и отрицательной.

2. Обратная функция х= (у) неоднозначна, то есть одному значе­нию у соответствует несколько значений х. Пусть, например, значе­нию у₁=y₀ соответствуют значения х= x₁, x₂,…,x_n.

Тогда из того факта, что у₀≤ y(t)≤ у₀+dy , следует одна из n взаимно несовместимых возможностей

x₁≤ x(t)≤ x₁+dx, или x₂≤ x(t)≤ x₂+dx, или … x_n≤ x(t)≤ x_n+dx.

Применяя правило сложения вероятностей получаем

p(y)= + +…+ .

/x= x₁ /x= x₂ /x= x_n

3, Характеристика нелинейного элемента у= f(x) имеет один или более горизонтальных участков (участки, где y= const.). Тогда выраже­ние

p(y)=

следует дополнить слагаемым, учитывающим вероятность пребывания у(t) на интервале, где у= const.

Проще всего этот случай рассмотреть не примере.

Пусть функция у= f(x) имеет вид, представленный на рис.1 и формулой

{

0 при x<a;

kx при a≤x≤b;

0 при x>b;

y=

Рис. 1 Воздействие случайного процесса на двусторонний ограничитель.

При х(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероят­ность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P₁= P[y(t)=0]= P[x(t)< a]= p(x)dx,

а плотность вероятности

p₁(y) = P₁∙δ(y).

Аналогично рассуждая для случая x(t)> b, получаем

P_a= P[y(t)-c]= P[x(t)> b]= p(x)dx,

p_a(y) =P_a∙ δ(y-c).

/y=c

Для случая a≤ x≤ b справедлива формула

p_a(y) =

/0≤y≤c

В целом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

p(y)= P₁∙δ(y)+ P_a∙ δ(y-c)+.

Заметим, что для получения окончательного выражения необходимо функциональные зависимости р(х) и dy/dx, являющиеся функциями от х, преобразовать в функции от у , используя обратную функцию х= (у). Таким образом, задача определения плотности распределения случай­ного процесса на выходе нелинейной безынерционной цепи решается аналитически для достаточно простых характеристик у = f(х).

В. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса y(t)

Непосредственно определить энергетический спектр случайного про­цесса на выходе нелинейной цепи не представляется возможным. Сущест­вует единственный метод - определение корреляционной функции сигнала на выходе цепи с последующим применением прямого преобразования Фурье для определения спектра.

Если на вход нелинейной безынерционной цепи поступает стационарный случайный процесс x(t), то корреляционная функция случайного про­цесса y(t) на выходе может быть представлена в виде

Ry()= By()-m_y²,

где By() - ковариационная функция;

m_y - математическое ожидание случайного процесса y(t). Ковариационная функция случайного процесса представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса y(t) в моменты t и t+ , то есть

By()= M[y(t)∙y(t+)].

Для реализаций случайного процесса y(t) произведение y(t)∙y(t+) является числом. Для процесса как совокупности реализаций это произ­ведение образует случайную величину, распределение которой характери­зуется двумерной плотностью вероятности р₂ (у₁, у₂, ), где у₁= y(t), y_a= y(t+). Заметим, что в последней формуле переменная t не фигу­рирует, так как процесс стационарный - результат от t но зависит.

При заданной функции р₂ (у₁, у₂, ) операция усреднения по множеству осуществляется по Формуле

By()=у₁∙у₂∙р₂ (у₁, у₂, )dy₁dy₂=f(x₁)∙f(x₂)∙p(x₁ ,x₂, )dx₁dx₂.

Математическое ожидание m_y определяется следующим выражением:

m_y=y∙p(y)dy.

Учитывая, что p(y)dy = p(x)dx , получаем

m_y=f(x)∙p(x)dx.

Энергетический спектр выходного сигнала в соответствии с теоремой Винера- Хинчина находится как прямое преобразование Фурье от ковариацинной функции, то есть

Wy(w)= By()e^-jd

Практическое применение данного метода затруднено, так как двой­ной интеграл для By() удается вычислить не всегда. Приходится испо­льзовать различные упрощающие методы, связанные со спецификой решае­мой задачи.