4 Метод узловых потенциалов
Методика расчета
В этом методе за неизвестные переменные принимают потенциалы узлов схемы. Один из узлов схемы заземляют, т.е. принимают его потенциал равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается на единицу. Для каждого узла составляется уравнение. Если схема имеет К узлов, то ей соответствует система из К-1 уравнения:
φ1G11 + φ2G12 +…+ φк-1G1, к-1 = I11
φ1G21 + φ2G22 +…+ φк-1G2, к-1 = I22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
φ1Gк-1, 1 + φ2Gк-1 ,2 +…+ φк-1G, к-1, к-1 = I к-1, к-1
После определения потенциалов узлов схемы находят ток в любой ветви по формуле:
,
= φn
– φm,
где n и m – узлы, к которым подключена соответствующая ветвь.
Применим метод узловых потенциалов для определения токов в схеме, изображенной на рис. 5. В схеме 5 узлов. Заземлим узел 1, то есть φ1 = 0. Составим уравнение для второго узла:
φ2
(
)
- φ4
- φ5
- φ1
=
В
этом уравнении перед слагаемым
поставлен знак «минус», так как ЭДС Е5,
формирующая узловой ток, направлена от
узла 2.
-
сумма проводимостей ветвей, сходящихся
в узле 2.
-
- проводимость ветви, соединяющей узлы
2
и 4,
взятая со знаком «минус».
-
- проводимость ветви, соединяющей узлы
2
и 5,
взятая со знаком «минус»,
-
- проводимость ветви, соединяющей узлы
2
и 1,
взятая со знаком «минус». Но
так как φ1 = 0, то слагаемое φ1· обращается и ноль. Аналогично составляются уравнения для узлов 3,4 и 5.
Таким образом, система уравнений примет вид:
φ2
(
)
- φ4
- φ5
=
φ3
(
)
- φ4
- φ5
=
φ4
(
)
- φ3
- φ2
- φ5
=
φ5
(
)
- φ4
- φ3
- φ2
=
+I.
П одставив численные параметры элементов схемы, получим:
φ2
(
)-
φ4
-
φ5
=
φ3
(
)-
φ4
-
φ5
=
φ4
(
)-φ3
-
φ2
- φ5
=
φ5
(
)-
φ4
-
φ3
-
φ2
=
0
,08095
φ2+0∙φ3
- 0,05 φ4
- 0,01667
φ5
=1
0 ∙φ2+0,0575 φ3 - 0,025 φ4 - 0,02 φ5 =1
-0,05 φ2 - 0,025 φ3+0,10833 φ4 - 0,09333 φ5 =-3
-0,01667 φ2 - 0,02 φ3 - 0,03333 φ4+ 0,07 φ4=11.
Решение системы дает следующие значения потенциалов узлов схемы:
φ2=368,931 B,
φ3=378,364 B,
φ4=396,659 B,
φ5=541,973 B.
Найдем токи в ветвях, используя найденные потенциалы:
I1
=
,
I2
=
,
I3
=
,
I4
=
,
I5
=
,
I6
=
,
I7
=
.
5 Баланс мощности
В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников электрической энергии равна сумме активных мощностей приемников: Рист = Рнагр. Если в электрической цепи присутствуют источники ЭДС и источник тока, то уравнение баланса мощности примет вид:
где Uab= φa – φb, a и b - узлы, к которым подключен источник тока.
Для цепи, изображенной на рис.5, уравнение баланса мощности:
,
U51= φ5 – φ1 = 541,973 - 0=541,973 (B)
(2,386)2·20 + (3,844)2·30 + (1,457)2·40 + (4,272)2·50 + (1,884)2·60 +(4,27)2·70 + (5,73)2·80 = 2,386·20 - 3,844·30 + 1,457 40 + 4,272·50 - 1,884·60 – 4,27·70 + 5,73·80 + 541,973·10
5670,466Вт ≈ 5670,47Вт
6 Метод эквивалентного генератора
Определим ток I1, используя метод эквивалентного генератора. Выделим ветвь с Е1 и R1 .Всю остальную часть схемы представим в виде активного двухполюсника. Заменим двухполюсник эквивалентным генератором с ЭДС Е и внутренним сопротивлением rвн (Рис. 5.3). ЭДС генератора Е равна напряжению холостого хода на зажимах 4 и 2, а внутреннее сопротивление rвн равно входному сопротивлению двухполюсника.
Рис.5.3
Определим напряжение U42xx на зажимах 4 – 2 в режиме холостого хода, то есть при отключенной ветви Е1 , R1, в схеме, изображенной на рис.5.4
Определим
токи в ветвях
и
методом контурных токов.
I33=I=10A
I
11
(r2
+
r3
+
r4)
-
I22
(r2
+
r3)
=
E2
+
E4
-
E3
I22 (r2+r3+r5+r6+r7) - I11 (r2+r3 )- I33 (r5+r6 )= E7+E6+E5 - E2+E3
I 11 (30+40+50) - I22 (30+40) = 30 + 50 - 40
I22 (30+40+60+70+80) - I11 (30+40) - I33 (60+70) = 80+70+60 - 30+40
1 20 I11 – 70 22 = 40
-70 I11 + 280 I22 = 1520
Рис. 5.4
Решив систему, получим контурные токи: I11 = 4,098 A, I22 = 6,453 (A)
Перейдем к токам в ветвях:
=I22
-
I11
=
6,453
-
4,098
=
2,355
(A)
=
I33
-
I22
=
10
–
6,453
=
3,547
(A)
U42xx = φ4 - φ2
φ4 = φ2 + r5 + E5 - E2 - r2
U42xx = r5 + E5 - E2 - r2 = 3,547·60 + 60 – 30 - 2,355·30
U42xx = 172,17 (В)
Для определения входного сопротивления схемы (Рис.5.4) необходимо закоротить источники ЭДС, и разомкнуть источник тока. Получим схему, изображенную на рис. 5.5.
Рис.5.5 Рис.5.6
Резисторы r2, r3, r4 образуют соединение «треугольник».
Преобразовав данное соединение в «звезду», получим схему рис. 5.6:
Искомый ток I1 равен :
Подставив численные значения величин, получим:
