2 Метод контурных токов

Метод контурных токов по сравнению с предыдущим методом позволяет сократить количество составленных уравнений. В этом методе за неизвестные величины принимаются так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

Методика расчёта

1 Выбирают в схеме независимые контуры.

2 Для выбранных независимых контуров произвольно принимают нап- равления контурных токов в них. Для простоты решения направления контурных токов принимают совпадающими с направлением обхода контуров.

3 Составляют для выбранных контуров уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов.

Для цепи, изображённой на рис. 5.2 можно выделить 4 независимых контура. Поскольку во внешней ветви четвертого контура находится источник тока I, величина которого известна I₄₄ = I = 10А, то уравнение для этого контура не оставляется. Таким образом, система будет состоять из 3-х уравнений.

В смежных сопротивлениях r_1, r_2, r_3, r_5, и r₆ контурные токи направлены

встречно, поэтому падения напряжения в этих резисторах определяются разностью этих токов. Если бы контурные токи в смежных сопротивлениях были бы направлены согласно, тогда падения напряжения в смежных резисторах определялись бы суммой контурных токов. Если источников ЭДС в контуре несколько, то источник ЭДС войдет в уравнение со знаком «плюс», если его направление совпадет с направлением обхода контура, если не совпадает, то нужно поставить знак «минус». Таким образом,:

I ₁₁r₇ + (I₁₁ –I₄₄) r₆ + (I₁₁ –I₂₂) r₁ + (I₁₁ – I₃₃) r₃ = –E₁+E₃+E₇+E₆

(I₂₂ –I₄₄) r₅ + (I₂₂ –I₃₃) r₂ + (I₂₂ –I₁₁) r₁ = E₁+E₅ – E₂

I₃₃ r₄ + (I₃₃ –I₁₁) r₃ + (I₃₃ – I₂₂) r₂=E₂+E₄ – E₃ .

После преобразования получим следующую систему:

I ₁₁ (r₁+ r₃+ r₆+ r₇)-I₂₂r₁ –I₃₃r₃ - I₄₄r₆= –E₁+E₃+E₇+E₆

I₂₂ (r₁ + r₂ + r₅)-I₁₁r₁ - I₃₃r₂ - I₄₄r₅ = E₁+E₅ – E₂

I₃₃ (r₂+ r₃ + r₄) - I₁₁r₃ - I₂₂r₂ = E₂+E₄ – E₃.

I ₁₁ (20+40+70+80) – 20I₂₂ – 40I₃₃ – 10·70 = -20 + 40 + 80 + 70

I₂₂ (20+30+60) – 20I₁₁ – 30I₃₃ – 10·60 = 20 + 60 – 30

I₃₃ (30+40+50) – 40I₁₁ – 30I₂₂ = 30 + 50 – 40.

2 1I₁₁ – 2I₂₂ – 4I₃₃ = 87

-2I₁₁ + 11I₂₂ – 3I₃₃ = 65

-4I₁₁ – 3I₂₂ + 12I₃₃ = 4.

Решив систему, получим: I₁₁=5,73 (A), I₂₂=8,116 (A), I₃₃=4,272 (A).

4 В результате решения системы уравнений будут известны контурные токи I_1I, I₂₂ и I₃₃.От контурных токов необходимо перейти к токам в ветвях I₁,

I_2, I_3, I_4, I_5, I_6, I_7. В ветвях, не являющихся общими для смежных контуров, найденный контурный ток будет равен действительному току ветви. В ветвях же общих для смежных контуров действительный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов.

Таким образом:

I₁ =I₂₂ – I₁₁ = 8,116 – 5,73 =2,386 (A),

I₂ = I₂₂ – I₃₃ = 8,116 – 4,272 = 3,844 (A),

I₃ = I₁₁ – I₃₃ = 5,73 – 4,272 = 1,458 (A),

I₄ = I₃₃ = 4,272 (A),

I₅ = I – I₂₂ = 10 – 8,116 = 1,884 (A),

I₆ = I – I₁₁ = 10 – 5,73 = 4,27 (A),

I₇ = I₁₁ = 5,73 (A).

3 Определение потенциалов узлов с помощью законов Ома

Заземлим узел 1, это значит, что его потенциал будет равен нулю.

φ₁ = 0, тогда:

φ₂ = φ₁ + I₆ r₆ + E₆ = 0 + 4,27·70 + 70 = 368,9 (B),

φ₃ = φ₁ + I₇ r₇ – E₇ = 0 + 5,73·80 – 80 = 378,4 (B),

φ₄ = φ₂ + I₁r₁ - E₁ = 368,9 + 2,386·20 – 20 = 396,62 (B),

φ₅ = φ₂ + I₅ r₅ + E₅ = 368,9 + 1,884·60 + 60 = 541,94 (B).