2 Расчётно-графическая работа № 2

2.1 Расчёт цепей переменного тока

Основные формулы и уравнения

Переменный электрический ток (ЭДС, напряжение) – это ток (ЭДС, напряжение), изменяющийся с течением времени. Значение этой величины в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением тока (ЭДС, напряжения).

Наиболее распространен переменный синусоидальный ток (ЭДС, напряжение), являющийся синусоидальной функцией времени. Переменный синусоидальный сигнал характеризуется периодом Т, выражаемым в секундах (с), или величиной, обратной периоду и называемой частотой электрического тока (ЭДС, напряжения) f, выражаемой в герцах (Гц):

f = 1/Т (2.1)

или

f=pn/60, (2.2)

где р — число пар полюсов генератора; n — частота вращения якоря генератора, об/мин.

Мгновенные значения тока, ЭДС, напряжения соответственно:

i = I_m sin (ωt ± φ_i),

e = E_m sin (ωt ± φ_e), (2.3)

u = U_m sin (ωt ± φ_u),

где i, е, u – мгновенные значения тока, А; ЭДС, В; напряжения, В; I_m, E_m, U_m – амплитудные значения тока, А; ЭДС, В; напряжения, В; ω - угловая частота, 1/с; φ_i, φ_e, φ_u – начальная фаза тока, ЭДС, напряжения; t – время, с.

Угловая частота синусоидального электрического тока (ЭДС, напряжения)

ω = 2πf. (2.4)

Начальная фаза тока (ЭДС, напряжения) (φ_i, φ_e, φ_u) — это значение фазы в момент времени t = 0.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одной и той же частоты называют сдвигом фаз.

Сдвиг фаз между напряжением и током определяется вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы напряжения:

φ = φ_u – φ_i. (2.5)

Синусоидально изменяющиеся величины изображают либо графически как функции времени t или угла ωt, либо вращающимися векторами на плоскости. В последнем случае длина вектора в выбранном масштабе представляет собой амплитудное или действующее значение этой величины, угол между этим вектором и положительным направлением оси абсцисс в начальный момент времени равен начальной фазе φ, а угловая частота вращения вектора равна угловой частоте ω.

Совокупность двух и большего числа векторов называют векторной диаграммой. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма. Вычитание их — сложение с обратной по знаку вычитаемой величиной.

Действующее значение переменного тока (ЭДС, напряжения) — это среднеквадратичное значение переменного тока (ЭДС, напряжения) за период Т.

Если ток, ЭДС или напряжение изменяются по синусоидальному закону, то его действующее значение составляет 0,707 амплитудного значения:

_

I = I_m/√2 = 0,707 I_m,

Е = Е_m/√2 = 0,707 Е_m, (2.6)

U = U_m/√2 = 0,707 U_m.

Так как действующие значения токов, ЭДС и напряжений пропорциональны амплитудам этих величин, то вектор, выражающий в одном масштабе амплитудное значение, в другом представляет собой действующее значение той же величины. Чаще векторные диаграммы строят в действующих значениях.

Задача 1. Катушка с активным сопротивлением R и индуктивностью L соединена последовательно с конденсатором (рис. 2.1). Найти ток и напряжение на катушке, ёмкости и конденсаторе, если напряжение на входе цепи U = 220В и частота f = 50Гц. Определить активную, реактивную и полную мощность цепи. Построить векторную диаграмму.

Таблица 2.1. Данные к задаче 1

№ вари­анта	L, Гн	С, мкФ	R, Ом	№ вари­анта	L, Гн	С, мкФ	R, Ом
1 2 3 4 5	0,096 0,0127 0.019 0,016 0,032	630 400 500 680 750	4 6 3 8 5	6 7 8 9 0	0,019 0,0127 0,0096 0,0127 0,016	600 320 400 500 320	7 6 5 3 4

Задача 2. В цепь синусоидального тока частотой f=50 Гц (рис. 2.2) включе­ны две параллельные ветви. Параметры элементов известны: R₁, R₂, L, С. Напря­жение на конденсаторе Uc. Найти токи в ветвях и в неразветвленной части цепи. Определить активную, реактивную и полную мощность цепи. Определить сдвиги фаз всей цепи и в обеих ветвях. Построить векторную диаграмму.

Таблица 2.2 Данные к задаче 2

№ вари­анта	Uc, B	L, Гн	С, мкФ	R1, Ом	R2, Ом	№ вари­анта	Uc, B	L, Гн	С, мкФ	R1, Ом	R2, Ом	Рис.2.2
1 2 3 4 5	30 20 40 50 60	0,096 0,0127 0.019 0,016 0,032	630 400 500 680 750	4 6 3 8 5	5 3 4 4 6	6 7 8 9 0	40 30 20 50 60	0,019 0,0127 0,0096 0,0127 0,016	600 320 400 500 320	7 6 5 3 4	5 3 4 6 5