7.1.2. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками питания

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис. 3), которая со­держит 6 ветвей. В том случае, когда заданы величины всех ЭДС и сопротивлений, а требуется определить токи в ветвях, получается за­дача с шестью неизвестными.

Подобного рода задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. При этом должно быть составлено столько уравнений, сколько неиз­вестных токов.

Расчет цепи проводится в следующей последовательности.

1. Если цепь содержит последовательные и параллельные соеди­нения, ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

2. Произвольно указывают направление токов во всех ветвях. Ес­ли принятое направление тока не совпадает с действительным, то при расчете такие токи получатся со знаком «минус».

1. Составляют (n-1) уравнений по первому закону Кирхгофа, где n - число узлов.

3. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирх­гофа, при этом обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. ЭДС и токи считаются положительными, если их направления совпадают с направлением обхода контура.

R4

b

с

Ei Г01

/₁

/2

R2

с 1 ►	л 1 <
<—-—	/б <

Рис. 3. Схема электрической цепи с несколькими источниками питания

E2

Г02

В качестве примера составим систему уравнений для расчета то­ков заданной схемы (см. рис.3).

Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составля­ем уравнения по первому закону Кирхгофа для узловых точек а, b, с:

/1 + /2 + /3 = Of

/5 - /1 - /4 = 0; \ (19)

/ ₄ - / ₂

/б =

0.

Приняв направление обхода контуров по часовой стрелке, со­ставляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произволь­но выбранных контуров:

E =

E2 =

(20)

0 = -/₁ • R₁ + /₂ • R₂ + /₄ • R₄.

Решая уравнения (19) и (20) совместно как систему, определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией. При анализе элек­трических цепей с несколькими источниками питания часто исполь­зуют метод преобразования трехконтурной схемы в двухконтурную. По этому методу «треугольник», образованный тремя сопротивле­ниями и не содержащий источников ЭДС, преобразуют в эквивалент­ную «звезду». Пример подобного преобразования иллюстрируется на рис. 4. Для заданной схемы (см. рис. 3) в качестве «треугольника» со­противлений берется «треугольник», образованный сопротивлениями Ri, Ri, R4.

Рис. 4. Пример преобразования «треугольника» сопротивлений в эквивалентную «звезду»

При преобразовании обязательно сохраняется условие эквива­лентности схем, т. е. токи в проводах, протекающие к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин.

При преобразовании «треугольника» в «звезду» используются расчетные формулы:

^ao D D D ' bo _{D D D} ' CO _{D D D} • \^Al)

Ri + Ri + R4 Ri + Ri + R4 Ri + Ri + R4

В результате преобразования заданная электрическая схема (см. рис. 3) упрощается и становится двухконтурной (рис. 5).

В преобразованной схеме (см. рис. 5) протекают три тока /₃, /₅, I₆. Для расчета этих токов достаточно трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

^/5 ^/3

- /б = 0;

1 = ^/5 * ^(Rbo + ^Г01) ^{- /}3 ' ^(R3 + ^Rao^); E2 = /3 • (R3 + Rao) + /б * (Rco + Г02)

о

Rbo

/5

Rao

Rco

b

а

с

R₃

/3

/5

d

Рис. 5. Преобразованная электрическая схема после замены «треугольника» сопротивлений эквивалентной «звездой»

При составлении уравнений направление токов и обход контуров берутся те же, что и в трехконтурной схеме.

Решив систему уравнений (22), определим токи /3, /5, /б. Подста­вив полученные значения токов в уравнения, составленные для трех-контурной схемы, рассчитаем остальные токи /₁, /₂, /₄.

Часто для расчета сложных электрических цепей применяют ме­тод контурных токов. При решении этим методом количество уравне­ний определяется числом ячеек. Ячейкой называют такой контур, внутри которого отсутствуют ветви.

В рассматриваемой схеме (рис. б) таких контуров-ячеек три.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов проводится следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаются на­правлением этих токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (см. рис.б).

2. Составляются для каждого контура-ячейки уравнения по вто­рому закону Кирхгофа. Обход контуров производится по часовой стрелке:

первый контур

E = /к 1 • (R + R3 + Г01) - /к2 • R3 - /к3 • R, (23)

второй контур

третий контур

(24) (25)

b

_а

_с

/3

'/2

E2

Г02

R3

d

Рис. 6. Заданная электрическая схема с указанием контурных токов

3. Решая совместно уравнения (23), (24), (25), определяем кон­турные токи. Если контурный ток получается со знаком «минус», значит, его направление противоположно выбранному на схеме.

4. Токи во внутренних ветвях схемы I_l, /₂, /₃ определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Если контур­ные токи в ветви совпадают по направлению, берется их сумма, если направлены навстречу друг другу - из большего тока вычитают мень­ший.

5. Токи во внешних ветвях схемы /4, /5, /6 по значению равны со­ответствующим контурным токам.

Пример.

Найти токи в ветвях цепи, схема которой изображена на рис. 6. Дано: £i=l00 В, £2=120 В, Roi=Ro2=0,5 Ом, Ri=5 Ом, R2=l0 Ом, R3=2 Ом, R4=l0 Ом.

Решение.

В соответствии с уравнениями (23), (24), (25) имеем

100 = 7,5Iki -1 Iki - 5I*3 ; - ii0 = -i+ H,5Iki - iOIk3, 0 = -5Iki -10Ik₂ + 15I_k3.

Выразим IK3 через IKi и IKi

I = —I + i0_I

и произведем подстановку в два первых уравнения

i00 = 6,5Iki - 4Iki; 1 - ii0 = -4Ik i + 8,5Ik i J

Совместное решение полученных уравнений дает Ik3 = - 5,i А; Iki= -33,5 А; Iki= -i4,4 А.

Так как токи получились со знаком «минус», то их направления будут противоположными по отношению к указанным на схеме (см. рис. 6).

Определим токи в ветвях:

11 = Iki - Ik3 =-5,i +14,4 = 9,i А;

j Л1

I4 =- Ik 3 = 14,4A;

1₂ = Iк₃ -1к₂ =-14,4 + 33,5 = 19,1 A;

I₃ = Iк ₁ -1к2 = -5,2 + 33,5 = 28,3 А;

^[5 ^{_ J}K1

^I6 = ^-ik2 = ^{33,5 A}-