15. Изобразите графически схему балки, определите опорные реакции;

простроить эпюры моментов и поперечных сил; укажите положение опасного сечения (сечение балки с максимальным моментом); определите прогиб ∆y балки в точке приложения силы P.

Пример решения задачи

Пример № 1 На рисунке изображена консольная балка, нагруженная сосредоточенной силой P=7 кН, парой сил, момент которой M=32 кНм, и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q=4 кН/м.

Требуется:

1. Определить реакции опор.

2. Найти значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях, примыкающих к границам участков.

3. На участке с распределенной нагрузкой определить положение сечения, в     котором поперечная сила равна нулю.

4. Определить значение изгибающего момента в этом сечении.

5. По найденным значениям поперечной силы и изгибающего момента построить в масштабе эпюры Q_y и M_x и указать на них характерные ординаты с единицами измерения.

 

Рис.1

Решение.

1. При построении уравнений равновесия необходимо мысленно заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей. Она равна

R= q∙CE=4∙8=32 кН.

Линия действия равнодействующей проходит через середину отрезка СЕ. Она удалена от опоры А на 8 м и от опоры D – на 1 м.

Уравнения моментов:

Σm_A=0.     Y_D∙9 - q∙8∙8 – P∙4+M = 0, или   

Y_D∙9 - 4∙8∙8 – 7∙4+32 = 0.

Σm_D=0.     -Y_A∙9 +M + P∙5+ q∙8∙1 = 0, или   

-Y_A∙9 +32 + 7∙5+ 4∙8∙1 = 0.

Решение уравнений

Y_A=11 кН,   Y_D=28 кН. 

Проверка

ΣY=Y_A – P - q∙8 + Y_D = 11-7-4∙8+28=0.

 

2. На участках АВ и ВС нет распределенной нагрузки и нет сосредоточенных сил. Значит в пределах этих участков поперечная сила не меняет своего значения. По силам, приложенным к балке слева от любого сечения участков АВ и ВС получаем

Q_y = Y_A = 11 кН.

К сечению С, которое разделяет участки ВС и СD, приложена сосредоточенная сила P = 7 кН, направленная вниз. Значит при переходе через сечение С поперечная сила уменьшается на величину силы Р.

При дальнейшем продвижении по участку СD поперечная сила меняется по линейному закону. В конечном сечении этого участка

или

То есть при переходе в пределах участка СD от сечения С к сечению D поперечная сила изменится на величину нагрузки, приложенной к этому участку.

При переходе через сечение D поперечная сила опять меняется скачкообразно

Значения поперечной силы в рассмотренных сечениях можно найти и по нагрузке, приложенной к балке справа от сечения. Так в конечном сечении Е поперечная сила равна нулю, а в сечении Dучастка ЕD поперечная сила равна равнодействующей распределенной нагрузки, приложенной к участку ED, то есть

При этом вычислении следует учесть, что нагрузка, приложенная справа от сечения, вызывает положительную поперечную силу, если она направления вниз.

 

3. Перейдем к определению изгибающих моментов.

В сечении, примыкающем к опорному сечению А, изгибающий момент равен нулю, так как плечо силы Y_A равно нулю. По мере удаления сечения от опоры А изгибающий момент возрастает по линейному закону и в сечении В участка АВ он равен

При переходе через сечение В изгибающий момент получает отрицательную добавку, равную моменту пары. Таким образом в сечении В участка ВС

Скачкообразное изменение изгибающего момента имеет место лишь в сечении В, где приложена внешняя пара сил. В остальных граничных сечениях изгибающий момент непрерывен. Значит в сечениях, принимающих к границам участков С и D слева и справа значения изгибающего момента будут одинаковы.

По нагрузке слева

M_C = Y_A∙AC - M= 11∙4 - 32 = 12 кНм;

По нагрузке справа

Изгибающий момент в конечном сечении Е равен нулю.

На участках СD и DE эпюра изгибающего момента представляется параболами.

Для построения параболы участка СD найдем положение сечения К этого участка, в котором поперечная сила равна нулю. Воспользуемся формулой   Искомое сечение  К удалено от сечения D на

а от сечения С на

По нагрузке справа

После построения эпюр Q_y и M_x по результатам вычислений следует проверить, соответствуют ли они друг другу.

Так на части балки с положительной поперечной силой изгибающий момент возрастает. На отрезке KD изгибающий момент убывает. На участках АВ и ВС с равными поперечными силами эпюры изгибающего момента представлены параллельными прямыми.

16. Сделайте выводы о получение навыков определения внутренних усилий и перемещений двухопорных балок, работающих на поперечный изгиб.