ЛЕКЦИЯ 7

Функции одного случайного аргумента

Пусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированному преобразованию ϕ, в результате которого получится величина Y, т.е. Y =ϕ(x).

Очевидно, что величина Y будет случайной, и, как правило, необходимо определить закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины Y по известному закону распределения величины Х и виду преобразования ϕ.

Закон распределения функции случайного аргумента

В случае, если Х - дискретная случайная величина с известным рядом распределения вероятностей, определение ряда вероятностей Y не составит сложности.

Из (*) путем упорядочивания и объединения одинаковых значений получаем ряд распределения случайной величины Y (**).

Если Х – непрерывная случайная величина с известной плотностью вероятности f (x) , то алгоритм получения закона распределения Y =ϕ(x) зависит от вида ϕ. Рассмотрим участок оси абсцисс [а,b], на котором лежат все возможные значения величины Х, т.е. p(a≤X ≤b) =1, в частном случае a = −∞,b = +∞ . Способ решения поставленной задачи зависит от поведения

функции ϕ на участке [а,b] : монотонна она на этом участке или нет. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

Y = ϕ(х) - монотонно возрастающая функция. Определим функцию распределения G( y) случайной величины У. По определению она равна

ψ ( y )

G ( y) = p(Y < y) = p(ϕ(x) < y) = p( X <ψ ( y)) = ∫ f X (x)dx ,

−∞

34

где ψ(y) - обратная функция ϕ(x).

Для выполнения условия Y < y необходимо и достаточно, чтобы

случайная величина Х попала на участок оси абсцисс от х = ψ(y) до b. Таким образом, функция распределения Y для аргумента X, распределенного в интервале [a,b], равна

35

1.Построить график Y = ϕ(х) и определить диапазон значений Y [ymin,ymax].

2.Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковая степень неоднозначности ki, i=1,2, .. M:

[ymin,y1),[y1,y2) … [yM-1,ymax].

Степень неоднозначности ki – число значений Х, соответствующих одному значению Y, или число обратных функций для данного интервала ψj(у), j=1… ki.

3.Определить обратные функции ψj(у) = ϕ-1 (х) и вычисляется ψj'(у) .

Вобщем случае число обратных функций ψj(у) в i-м интервале равко ki

4.Определить плотность вероятностей g(y) по следующей формуле:

В частном случае, когда обратные функций одинаковы для всех интерваловψ′j ( y) =ψ′( y), ψ′j ( y) = ψ′( y) , формула (7.2) принимает вид

36

а если величина Х равномерно распределена в интервале [a, b], т.е. ее плотность

Числовые характеристики функции случайного аргумента

Пусть Y = ϕ(х), где X – случайная величина с известным законом распределения, и необходимо определить числовые характеристики Y. В том случае, когда закон распределения Y определен (см. выражения (7.1) − (7.4)), то числовые характеристики Y легко вычислить по формулам (5.1) − (5.7). Однако, если закон распределения величины Y в явном виде не нужен, а необходимы только ее числовые характеристики, применимы следующие формулы.

Если Х – дискретная случайная величина с известным рядом распределения вероятностей, то

Если Х – непрерывная случайная величина с известной плотностью вероятностей f(x), то формулы принимают вид

37