1.2.3. Получение первоначального опорного плана методом аппроксимации Фогеля
Рассмотрим метод и его применение на следующем конкретном примере.
Транспортная задача задана таблицей 10.4.
Таблица 10.4 – Исходные данные транспортной задачи (для метода Фогеля)
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
ai |
Разности по строкам |
|||||
A1 |
11 |
5 |
4 |
802 |
80 |
2 |
2 |
- |
- |
- |
- |
A2 |
701 |
604 |
40 5 |
9 |
170 |
3 |
1 |
1 |
4 |
- |
- |
A3 |
9 |
8 |
1407 |
1010 |
150 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
0 |
bj |
70 |
60 |
180 |
90 |
400 |
|
|||||
Разности по столбцам |
8 |
1 |
1 |
7 |
|
||||||
- |
1 |
1 |
7 |
||||||||
- |
4 |
2 |
1 |
||||||||
- |
- |
2 |
1 |
||||||||
- |
- |
0 |
0 |
||||||||
- |
- |
- |
0 |
||||||||
К исходной таблице добавим справа и снизу столбцов и строк .
Шаг 1. Заполняем первый дополнительный столбец (разности по строкам). В строке А1 вычисляем разницу между двумя минимальными элементами (минимальный элемент равен 2 , из оставшихся – минимальный равен 4, следовательно их разность 4 – 2 = 2). Записываем эту разность в строку А1 в дополнительный столбец 1.
Выполняем аналогичные действия для строк А2 и А3. Получаем соответствующие значения 3 и 1. Записываем полученные значения в дополнительный столбец 1 (строки А2 , А3 ).
Выполняем аналогичные действия для всех столбцов исходной таблицы и записываем полученные значения в соответствующие столбцы дополнительной строки 1.
Теперь из всех разностей (по строкам и по столбцам) выбираем максимальную (она равна 8 – столбец В1 ) и в клетку с минимальным тарифом в строке (1 – строка A2) записываем максимально возможную поставку – 70 и потребителя В1 исключаем из списка.
Шаг 2. Исключив потребителя В1 вновь проводим аналогичные действия по строкам и столбцам. Полученные значения записываем во второй дополнительный столбец и вторую дополнительную строку.
В данном случае максимальным является элемент равный 7 и в столбец В4, строку с минимальным элементом А1 = 2 записываем очередную поставку равную 80. Строку А1 (поставщика А1) исключаем из дальнейшего рассмотрения.
Шаг 3. Проводим аналогичные действия для оставшихся столбцов и строк исходной таблицы. Полученные результаты записываем в третий дополнительный столбец и третью дополнительную строку. На этом шаге максимальным является элемент в столбце В2 = 4 и, следовательно в клетку А2В2 назначаем очередную поставку в 60 единиц. Потребителя В2 исключаем из дальнейшего рассмотрения.
Шаг 4. Проводим аналогичные действия для оставшихся столбцов и строк исходной таблицы. Полученные результаты записываем в четвертый дополнительный столбец и четвертую дополнительную строку. На этом шаге максимальным является элемент в строке А3 = 3 и, следовательно, в клетку А3В3 назначаем очередную поставку в 40 единиц. Поставщика А2 исключаем из дальнейшего рассмотрения.
Шаг 4. Рассмотрению подлежит только строка А3. Назначаем в клетку А3В3 (где минимальный элемент) поставку 140 единиц. Оставшиеся 10 единиц, распределяем в клетку А3В4.
В результате такого распределения получили начальный опорный план
Х(0)
=
Задача решена.
Отметим, что при использовании метода Фогеля, как правило, получается план очень близкий к оптимальному, или собственно оптимальный план.