Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория кодирования

Файл:

Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие) / lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

государственныйш

4. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ И КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

информатики

4.1. Характеристика поля

радиоэлектроники

Белорусский

университет

из

общего

многообразия

коммутативных

колец

Поля

выделяются

государственныйш

наличием максимально возможной мультипликативной группы – в нее входят

все

ненулевые

элементы,

отсутствием

делителей

нуля,

отсутствиеми

информатики

собственных идеалов. аНеотъемлимым атрибутом, важнейшим из свойств

каждого поля является его характеристика.

Если в поле

существует такое натуральное

Определение 4.1.1.

Теорема 4.1.1.

Если характеристика поля отличнарадиоэлектроникиот нуля, то она

что равнаенулю сумма

единиц ( n

раз складывается с самим собой

−

Белорусский

ито

отличнам

от нуля, то говорят, что характеристикауниверситетполя P равна 0.

нейтральныйф

элемент

относительно

умножения):

+... +

1 = 0,

наименьшееа

с таким свойством называется характеристикой поля

обозначается

через

charP.

Если в поле

P любая конечная сумма единиц

является числом простым.

Доказательство.

Предположим,

что

поле

имеет

конечную

характеристику

причем

n = km −число составноеф т. По определению это

означает, что в поле

P некоторые конечные суммыаиз одной единицы равны

нулю, причем наименьшая из таких сумм содержит

слагаемых, n единиц.

Эту, равную нулю, сумму

единиц

можном

пользуясь

свойством

ассоциативности сложения сгруппировать в

групп по

единиц в каждой.

Сумма

k единиц - это какой-то ненулевой элемент

b P.

Таким образом,

государственныйш

элементов

то есть

равная нулю сумма

единиц равна сумме m

информатики

произведению

на сумму из

единиц, равную какому-то отличному от

нуля элементу

c P.

bc = 0

для ненулевых

Значит, мы имеем произведение

b,c P.

Это противоречит отсутствию делителей нуля в поле (см. следствие из

ненулевымрадиоэлектроникиэлементом, в частности, единицей – нейтральнымгосударственныйэлементомш

теоремы 3.4.1). Следовательно,

charPк

= n

не может быть составным числом.

Белорусский

Теорема доказана.

группой

порядка

порожденной

любыме

следовательноуниверситет, циклической

P = Z / pZ,

p −простое число,

характеристикаи

Пример 4.1.1. В поле

относительнодумножения. Согласно

теореме

2.4.2

структуреинформатикициклических

равна

p. В самом деле, Z / pZ является аддитивной группой из

p элементов и,

радиоэлектроникиполя P ,

если все его

мОпределение 4.1.2. Поле

называется подполем

Белорусский

групп

университет

Z / pZ ={1, 1 + 1

= 2,..., 1 + 1 +... + 1 = p −1, 1 + 1 +

... + 1 =

0}.ыЭто

означает, что char(Z / pZ ) = p.

Пример 4.1.2. Поля

Q, R, C имеют, очевидно, характеристикуа0.

′

элементы принадлежат полю

′

P .

государственныйш

Теорема 4.1.2.

имеет характеристику

то и

Если подполе поля

информатики

поле

имеют ту же

имеет ту же характеристику. Все подполя поля

характеристику.

радиоэлектроники

Доказательство

следует из

кединственности нейтрального элемента в

БелорусскийТеорема

4.1.3.

Пусть

P −произвольное

поле

положительной

группе и, следовательно, из единственности единицы в любом поле.

университет

С их точ-

Со школьной скамьи мы привыкли к полям характеристики

государственныйш

ки зрения арифметика полей положительной характеристики весьма экзотична.

информаики

характеристики

Пусть

n −произвольное целое число и

r −остаток от

деления

Тогда для каждого элемента

a P

имеет место

на

равенствое:

радиоэлектроники

na = ra.

В частности,

при

= pq

произведение

na = pqa = 0.

Доказательство.

Произведение

na = a + a +Белорусский... + a = a(1 +1 +... +1) −сумма

фp = 2,

университет

Если

то при

n = 2k

произведение

= 2ka

= 0,

а при

n = 2kи+1

na = (2k

+1)a = a.

произведениеа

равных

одинаковых слагаемых,

В силу закона дистрибутивности эта

сумма представима в виде произведения

единицм

. В силу

на сумму из

ев последней сумма

ассоциативности сложения и определения характеристики

каждых

p единиц равна нулю. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

n−k

Мы хорошо

знаем

формулу

бинома

(a + b)

= ∑Cn a

b .

Ньютонаа:

k =0

(Здесь уместно отметить факт исторической

мнесправедливости: формула,

носящая имя Ньютона, была известна ещё в Х в., например, знаменитому

среднеазиатскому поэту и философу Омару Хайяму). В полях характеристики

(a + b)

= a

+ bгосударственный; (a −b) =шa

к−b .

при

n = pk

формула бинома Ньютона выглядит совершенно по-другому.

информатики

a,b P

Теорема

4.1.4.

Пусть

charP = p > 0.

Тогда

для

любых

(a + b)

= a

+ b

;

(a − b)

= a

е− b

;

для

каждого

целого

k ≥1

радиоэлектроники

C =

Числитель данной дроби делится на

Белорусский

государственныйш

Доказательство.

Заметим,

что

все

биномиальные

коэффициенты

университет

1 2 ... k

Cp ,1≤ k < p,

числами и вычисляются по формулеи

являются

целыми

простоты этогод

числа. Следовательно,

делится на

информатикиТогда, согласно

p( p −1)

...

( p − k +

ни один из множителей знаменателя не может быть делителем

в силу

радиоэлектроники

университет

ынулю, что

теореме 1.3,

соответствующие слагаемые бинома Ньютона равны

первую формулу

для

бинома

Ньютона в характеристикеВ т

доказывает

Остальные формулы доказываются аналогично.

Пример 4.1.3. Пусть

P −поле характеристики

g −вложение

поле

P% = P[x]/ < p(x) >

(см.

пример

2.8.6)

для

неприводимогод

полинома

p(x) P[x]. Тогда, согласно теореме 4.1.2,

P −

также поле характеристики

государственныйш

Заметим,

что существуют бесконечные по количеству элементов поля

информатики

конечной характеристики. Примером такого поля является поле рациональных

f (x)

функций,

то

есть

дробей

, где

f (x)

g(x) ≠ 0 −полиномы

из

радиоэлектроники

g(x)

Белорусский

университет

4.2. Подполя и минимальные подполя

(Z / pZ )[x]

, с естественными операциями сложения и умножения дробей.

государственныйш

информатики

Обычнодполе имеет достаточно большой спектр подполей.

Пример

4.2.1.

Поле

рациональных

радиоэлектроники

поля

чисел

−подполес

бесконечно много промежуточных подполей. ДляБелорусскийкаждого простого числа

университет

вещественныхф

чисел

оно

свою

очередь

является

подполем

поляи

чисел

Между

между

Всуществуетт

комплексныха

полином

− p

неприводим

над

согласно

критерию

Эйзенштейна

(теорема 3.5.5

; впрочем,

что

не

можно и непосредственно убедитьсяд

являяется рациональным числом);

непосредственнными вычислениями можно

убедиться,

что

множество

K ={a + b

является

полем.

Это

p; a,b Q}

подполе поля

содержащее

в качествеК

своего подполя. Аналогично

образует поле множество

F ={a + bi; a,b Q}

мкомплексных рациональных

чисел. Оно содержит

Q и принадлежит полю комплексных чисел C.

P .

государственныйш

На многообразии всех подполей данного поля определено отношение

частичного порядка по включению, обладающее свойством транзитивности.

информатики

Также имеет место

′

Теорема 4.2.1.

Пересечение подполей поля

является подполем поля

свойства групп.

радиоэлек

Доказательство следует из соответствующегок

Белорусский

государственныйш

Определение 4.2.2.

Минимальным, или простым,

называется поле,

не

университет

содержащее собственных подполей.

и 1.

Следовательнод

содержит циклическую аддитивнуюинформатикисгруппу,

Теорема

4.2.2.

Поле

рациональных

чисел

Q −минимальное

поле

Z/pZа– минимальное поле характеристики

р.

характеристики 0;

P −подполе поля

Доказательствороники. Пусть

Оно содержит обязательно

Этомозначает, что

Q = P,

то есть что

Q −минимальноерадиоэлектроникиполе.

Белорусский

произведениеК

целого числа

на рациональное числоуниверситет1/ n принадлежит полю

порожденнуюе

числом

то есть группу целых чисел

В таком случаеиP

содержит обратныет

относительно умножения ко всем целым числам, то есть все

рациональныеа

числа вида

1/ n.

Но тогда любое рациональное число

k / n

как

Пусть P −подполе поля

Z / pZ.

и 1.

Оно содержит обязательно

Следовательно,

P содержит циклическую аддитивную группу, порожденную

государственныйш

Теорема доказана.

следовательно, совпадаетинформатикис нимс .

числом 1,

то есть группу

е=

>={1,

2,...,1 + 1 + ... +

p −1,

+ ... +

0}, состоящую из

элементов.

Это означает, что

Z / pZ и,

содержит все элементы поля

радиоэлектроники

характеристикиБелорусский поля P.

университет

В любомы

полеи

имеется в точности одно минимальное

Теорема 4.2.3.

то F

принадлежалогосударственныйбы M , но тогдаш

содержало собственное подполе

подполе,

изоморфное

либот

либо

/ pZ

в зависимости

от

информатики

Доказательство. Докажем существование минимального поля. Пусть

всех подполей данного поля

Если бы

K −пересечение множествам

радиоэлектроники

существовало несколько различных минимальныхБелорусскийподполей, то их пересечение

поэтому

K = F,

пересечение подполей не может быть большим, чем

что

университет

доказывает минимальность поля

Докажем

единственность

минимального поля.

Если

быВв полет

было

меньшим

подполем,

что

противоречило

бы

минимальности

пересекающихся подполей.

Пусть характеристика поля

равна нулю. Согласно теореме 4.1.2 ее

минимальное подполе

1% −нейтральный

K имеет ту же характеристику. Пусть

элемент этого поля относительно умножения. По определению характеристики

циклическая

группа

<1 >,

элементом

относительно

порожденная

этим

сложения,

бесконечна и изоморфна группе

целых чисел относительно

сложения. Построим ненулевой гомоморфизм

ϕ : Q → K

по следующему

правилу:

ϕ(0) = 0;

ϕ(1) =

единиц поля

Из

(n) =1

1 +... +1 −сумма из

последнего

государственныйш

следует,

что

соотношения

полагая

=ϕ

(m) /ϕ(n).

Такое определение корректно –

ϕ(1/ n) =1/информатикиϕ(n); ϕ(mс/ n)

ϕ(n + m) =ϕ(n) +ϕ(m), ϕ(nm) =ϕ

для любых целых

n, m.

При этом

(n)ϕ(m)

иначе получили бы противоречие

ϕ(n) ≠ 0 для каждого целого ненулевого

с равенством

charP = 0.

Продлим гомоморфизм

с кольца

на

радиоэлектроники

ϕ(q + q ) =ϕ(q ) +ϕ(q ),

то есть ϕ −ненулевой

q ,q БелорусскийQ ϕ(q q ) =ϕ(q )ϕ(q );

университет

государственныйш

нетрудно убедиться, чтоыпод действием

все эквивалентные дроби имеют

простаят

информатики

одинаковый образ. ТогдаВ

проверка показывает, что для произвольных

гомоморфизм поля

в поле

K. Согласно следствию 2 из теоремы 3.8.1

радиоэлектроники

изоморфное

имеем:

ϕ(Q) −

подполе поля

В силу минимальности

минимальноеа

подполе

имеет ту же

характеристикуБелорусский .

По

определению

университет

ϕ(Q) = K −еизоморфизм полей.

равна

p > 0.

характеристика поля

Пустьф

Согласно теоремет4.1.2 ее

циклическая

группа

<1% >,

порожденная

этим

характеристики

элементом

Z / pZ

относительно сложения, конечна и изоморфна аддитивной группе

классов

вычетов

по

модулю

Построим

ненулевойе е

гомоморфизм

государственныйш

ϕ : Z / pZ → K

информатики

по следующему правилу: ϕ(0) = 0; ϕ(1) =1; ϕ(n) =1 +1 +... +1 −

сумма из

единиц поля

n,1 ≤ n ≤ p −1.

Из

для каждого натурального

последнего

соотношения

следует,

что

радиоэлектроники

для

произвольных

ϕ(n + m) =ϕ

(n)

+ϕ(m), ϕ(nmс) =ϕ(n)ϕ(m)

классов

мыБелорусскийимеем равенство:

ϕ(Z / pZ ) = K,

что и означает изоморфизм полей

университет

2 из теоремы 3.8.1 полный образ

ϕ(Z / pZ )

n, m Z / pZ. Согласно следствиюи

есть подполе поля

K,Визоморфноет

полю

Z / pZ.

государственныйш

В силу минимальности поля

информатики

Z / pZ.

Теорема полностью доказана.

радиоэлектроники

Белорусский

т4.3. Векторные пространства и расширения полей

университет

Определение и основные свойства векторных пространств над полем R

переносятсям

на

произвольные

поля.

При

этом

векторное

пространствоа

над

конечным полем имеет свои особенности.

Теорема 4.3.1. Пусть V – n-мерное линейное пространство над полем

F(q)

из

q элементов. Тогда V состоит из

векторове .

Доказательство индукцией по размерности

фn

пространстват

V .

При

n =1

все

векторы коллинеарны

одному

вектору, то

есть

ненулевомуа

отличаются от него множителем из

F (q),

следовательно,

мощность

= q.

Предположим, что для

= q

, докажем, что

n = k ≥1 мощность

= qk +1.

Действительно, все векторы пространства

размерности

k +1

значении

xk +1

государственныйимеется по предположениюш

индукции

различных таких

k +1

представляют

собой

всевозможные

линейные

комбинации

x1e1 + x2e2

+... + xk ek

+ xk +1ek +1

векторов

фиксированного

базиса

информатики

k +1

e1 ,e2 ,...,ek +1 Vk +1

F (q).

При

каждом конкретном

коэффициентами

радиоэлектроники

имеется всего

образом,

в пространстве

Белорусский

линейных комбинаций. Такимс

государственныйш

университет

ыи требовалось доказать.

q = q

векторов, что

информатики

Определение 4.3.1.В

Если

является подполем поля

то

называют расширениемаполя Р.

Очевидно,

расширение

произвольного

поля

является

любое

радиоэлектроники

векторным пространством над

Белорусский

4.3.2. Расширение

поля

Определениее

называется конечным

университет

(степени

n),

если размерность векторного пространства

над полем

конечна (и равна n). Степень расширения принято обозначать через [F : P].

Пример 4.3.1.

Уже первокурсники знают,

что поле комплексныха

чисел

является расширением степени два поля вещественных чисел.

Из теоремы 4.3.1 получаем, что расширение

конечного

степени

поля

F(q)

из

элементов состоит из

элементове.

Теорема 4.3.2

Если поле

есть

(о башне расширений полей).

расширение поля Р степени

m, то

n, а поле H – расширение F степени

есть расширение Р степени

иmn.

[H : P] =

государственныйш

к,...,

− базис пространства

над полем

Доказательство.

Пусть

, f

пусть

информатики

над полем

Система

,h2 ,..., hm

−

базис пространства

элементов поля

Белорусский

h1 f1

h2 f1 ...

hm f1

университет

h f

...

радиоэлектроники

государственныйш

...

... ... ...

h1 fn h2 fn ...

hm fn

линейнофнезависимат

информатики

над полем P, является системой образующих линейногои

над полем

Иными словами – это базис

пространства

над

[H : P] = mn.

Теорема доказана.

Белорусский

Следовательно,

Если степень расширения

Следствие.

[F :университетP] = q −число простое, то

поле

радиоэлектроники

не содержит подполей, промежуточных между F

мP.

Упражнение 4.3.1. Выяснить, может ли расширение степени два поля

(поля Q )

быть подполем расширения того же поля

Q ) степени 3?

P (поля

Упражнение 4.3.2.

Какие подполя содержит расширение 127-й степени

поля

Z / 2Z ?,

а расширение 4-й степени того же поляа?

4.4. Алгебраические элементы

и алгебраические расширения полей

Определение

4.4.1.

α F −расширения

поля

является

Элемент

алгебраическим над полем

еслийсуществует полином

f (x) P[x],

корнем

которого является

α,

то есть

и= 0. В противном случае

называют

f (α)

трансцендентнымгосударственныйнад Р элементомш к

Поле

называется алгебраическим

информатики

является алгебраическим

расширением поля

Р,

если всякий элемент из F

над полем Р.

Пример 4.4.1. ВсемВ

хорошот

известно, что числа

π, e −трансцендентные

Белорусский

над

π ,

0,123456789… -

вещественные ачисла. К ним относятся числа

число,

университет

содержащее после запятой последовательно записанные числа

радиоэлектроники

государственныйш

натурального

другие.

Известно,

что

мощность

ряда,

многие

множество

чиселе

информатики

вещественныхе

– континуум, а множество всех алгебраических над

чисел – счетноет

. Поэтому трансцендентных вещественных чисел существенно

большеа

, чем вещественных алгебраических, чем рациональных чисел.

Всякое

Белорусский

поля

Теорема

4.4.1.

конечное расширениеуниверситетпроизвольного

являетсям

алгебраическим над

радиоэлектроники

Доказательство. Пусть

[F : P] = n >1. Пусть

α −дпроизвольный элемент

1,α,α

е n

n +1

поля

не принадлежащий

Система

из

векторов

,...,α

государственныйш

линейного

над полем

P обязательно линейно

n −мерного пространства F

информатикиn

зависима.

Поэтому

найдутся

элементы

c0 ,c1 ,...,c n P,

что

такие

c + c α +... + c α

= 0.

Это

что

α −корень

полинома

означает,

радиоэлектроники

Белорусский

то

есть

α F −алгебраический над

f (x) = c

+ c x +

... + c x P[сx],

Следствиеуниверситет2.

Степень расширения [R : Q] = +∞.

элемент.

алгебраическимгосударственныйнад полемш

комплексное

число

z = a + bi

является

Следствие 1.

Если расширениет

поля

содержит трансцендентные

над полем

P элементы, то степень этого расширения бесконечна.

вещественных чисел

информатики

м4.4.1.

Показать непосредственно, что каждое конкретное

Упражнение

радиоэлектроники

максимальный идеал кольца P[x].

Белорусский

университет

Pыэлементи .

Теоремаф

4.4.2.

Пусть

α −алгебраический

над

полем

полиномов

f (x) P[x],

для

которых

f (α) = 0,т

есть

Множествоа

Легко проверяется,

что

Доказательство.

множество полиномов с корнем

Pм[x].

Согласно

α образует группу относительно сложения и идеал в кольце

теореме 3.6.2

идеал

−главный. Пусть

Предположиме

что

=< g(x)

g(x)

приводим,

полиномов:

раскладывается в произведение неприводимыхт

g(x) = an p1 (x)

p2 (x)

... ps (x)

то из

Поскольку в полеанет делителей нуля,

g(α) = 0

i,1 ≤i ≤ s,

условия:

следует, что для некоторого целого

pi (α) = 0.

Это означает,

что

pi (x)

принадлежит идеалу

Jα .

Степень полинома

pi (x)

меньше

deg(g(x)) .

Поэтому

pi (x)

может делиться на

g(x) только в том

государственныйш

Получено

случае, когда отличается от него лишь множителем из поля

Jα

−максимальный идеал.

противоречие с предположением. Следовательно,

информатики

P[x]

Следствие.

Пусть

f (x)

с корнем

−неприводимый полином из

из расширения

поля

P. Пусть для

g(x) P[x]

g(α) = 0.

Тогда

g(x)

поля

государственныйпусть α шF −

Теоремарадиоэлектроники4.4.3. Пусть F – расширение

делится на

(x).

Белорусский

которогоуниверситетравен 1,

а одним из корней является элемент

α.

над

полем

Определение

4.4.2.

Пустьи

α F

–

алгебраический

над полем

элемент. Минимальным полиномом элемента

называется

Irr(α, P, x)

P[x] ,

информатики

неприводимый полином

в кольце

старший коэффициент

мДоказательство. Тот факт, что

P(α)

содержитрадиоэлектроникивсевозможные выражения

n−1

Белорусский

P элемент с минимальным над

алгебраический над

P полиномом степени

n−1

университет

n >1.

Пусть

P(α) −минимальное подполе поля

содержащее

ыP

α.

[P(α) : P] = n,

а поле P(α) имеетВследующую

Тогда степень расширения

структуруК

: P(α) ={a

+ a α +... + a α

; a P, 0 ≤ i ≤ n −1}.

вида

+ a1α +... + an−1α

n−1

с коэффициентами

не вызывает сомнений.

государственныйш

1,α,...,α

Произвольное

образом в виде линейныхинформатикикомбинаций элементов

Пусть

Irr(α, P, x)

= g(x)

= xn

+ c

xn−1

+... + c x + c .

является корнем этого

n−1

полинома. Следовательно, αn

= −c

αn−1

−... − c α − c .

Тогда

αn+1 , αn+2

и так

α,

еn−1

далее, все степени элемента

n −й,

выражаются аналогичным

большие

полиномоврадиоэлектроники(теорема 3.5.4), существуют такие полиномы

u(x), v(x),

чтое

Белорусский

n−1

посколькууниверситетg(x) −неприводим.

Согласно критерию

взаимной

простоты

выражение

иn−1

с коэффициентами

есть значение

+ a1α +...ы+ an−1α

ϕ(x)u(x) + g(x)v(x) =1.

Подставим в это равенство вместогосударственныйx значениешα.

полинома

ϕ(x) = a0

+ an−1 x

n−1

при

x =α.

НОД(ϕ(x), g(xи)) =1,

+ a1 x +

...

информатики−1 с

радиоэлектроники

n−1

ϕ(α) u(α) =1.

Следовательно,

(ϕ(α))

Получим:

=u(α) = b0 +

n−1

университет

+b1αа+... + bn−1α

для

подходящих

P, 0 ≤ j ≤ n −1.

Таким

образом,

K ={a

+ a α +... + a

n−1

; a P, 0 ≤ i ≤ n

множество

−1}

является полем,

содержащим P(α). Однако

P(α)

не может быть собственным подполем поля

1,α,...,α

n−1

д е

поскольку элементы

образуют линейно независимую систему

(в

противном случае

было

бы

корнем

полиномае

степени,

меньшей

n = deg g(x) ). Следовательно,

P(α) = K,

доказать.

что и требовалосьт

Пример 4.4.2.

C точки зрения теоремы

а4.4.3 поле комплексных чисел

C − алгебраическое расширение поля

R −минимальноеК

поле,

содержащее

и алгебраическое над ним комплексное число

мα =i −корень неприводимого

полинома x2 +1.

В полном согласии с утверждением теоремы 4.4.3

поле

государственныйш

имеет следующую структуру

C = R(i) ={a + bi; a,b R}.

Теорема 4.4.4.

В условияхи

теоремы 4.4.3 поле

P(α)

изоморфно полю –

многочленов на

информатикиg(x) = Irr(сα, P, x),

а с учетом примера 3.8.6 – из выражений

фактор-кольцу

P[x]/ < Irr(α, P, x)

Доказательство.

Согласно

епримеруи

3.7.2 названное в теореме фактор-

остатками от деления

кольцо состоит из классов смежности, порожденных

= −c

радиоэлектроникиx −... − c x − c .

Построим

отображениеш

Белорусский

государственный

чтое

1м

умножаются

n−1

выраженияуниверситетв

фактор-кольце

учетом

того,

вида:

+ a x +... + a

n−1

a P.

Класс

xы

для произвольных коэффициентов

n−1

= x

+ cn−1 x

n−1

+... + c1 x + c0

= 0.

информатики

смежности

Irr(α, P, x)

Поэтому названные

n−1

мультипликативномум

свойству кольцевых гомоморфизмоврадиоэлектроники: для произвольных

Белорусский

по

следующему

ϕ : P(α) → K = P[x]/ < Irr(α, P, x) >

правилу:

n−1

университет

ϕ(a + a α +

... + a

) = a

+ a x +

... + a

Такое отображение является,

n−1

очевидноа

, взаимно однозначным гомоморфизмом соответствующих

аддитивныхК

групп.

Отображение

удовлетворяет атакже

z,t P(α)

ϕ(zt) =ϕ(z)ϕ(t),

поскольку

P(α)

идв фактор-кольце

государственныйш

умножение подчинено одинаковому соотношению для степеней

информатики

соответственно. Поэтому

ϕ −изоморфизм полей, что и требовалось доказать.

Теорема

4.4.5.

Для

всякого

неприводимого

полинома

f (x) P[x]

степени

радиоэлектроникиn n−1

степени

существует расширение поля

содержащее

Белорусский

корень этого полинома.

университет

государственныйш

Доказательство.

f (x) = dn x

+ dn−1 x

n−1

+... + d0 P[x].Фактор-

Пусть

кольцо

K = P[x]/

< f

(x) >

состоит

из

всевозможных

выраженийи

n−1

информатики

a0 + a1 x +

... + an−1 x

; ai P,

содержит

корень

полинома

f (x) = dn x

+ dn−1 x

+... + d0 .

Классы смежности

в поле

для всех

образуюте еполе,

радиоэлектроники

d P

изоморфное полю

P символк

Присоединим к полю

α ,

Белорусский

то есть трассмотрим группу

относительно сложения всевозможных

произвольного

элемента

фактор-кольца

университетK −класса

смежности

n−1

выраженийа

вида

a0 + a1α +... + an−1α

произвольными

коэффициентами

ai P.

Построим изоморфизм аддитивных

групп

h : K →Ф по правилу:

для

n−1

m(x) = a

+ a x +... + a

положим

n−1

h(m(x)) = h(a0 + a1 x +... + an−1 x

)

= a0

+ a1α +... + an−1α

Группу

е= m(еα).

наделим

структурой

поля,

определив

на

ней

по

формуле:

умножение

для произвольных

Ясно,

что

m (α)m (α) = h(

(x )

(x ))

m (α), m (α) Ф.

поля K и Ф изоморфны и Ф содержит кореньК

полинома f (x).

Замечание.

Тот факт, что поле P(α)

содержитм

корень

полинома

g(x) = Irr(α, P, x),

вовсе не означает, что

P(α) содержит все корни этого

2) ={a + b

2государственный+ c 4; a,b,c шQ}

ксодержит только первый из перечисленных

полинома.

x3 − 2 = 0

Пример 4.4.3.

Уравнениеи

не имеет рациональных корней

информатики

согласно

критерию

Эйзенштейна.

Это

уравнение

имеет

следующие

три

иррациональные

корня:

2 / 2; (−1 − i

2 / 2.

Поле

е2; (−1 + i

радиоэлектроники

Белорусский

корней.

государственныйш

университет

4.4.3.

Расширение

поля

называется

иполем

Определение

информатики

разложения полиномаВ f (x) P[x],

если

оно содержит

все

корни

этого

полинома.

Такое название мотивировано теоремой Безу о корнях полиномов – при

всех корней полинома

f (x)

радиоэлектроники

наличии в поле

последний раскладывается в

Белорусский

университет

произведениее полиномов 1-й степени – двучленов вида

x −α.

Теоремат

4.4.6.

Для всякого полинома

f (x) P[x]

существует поле

аP −конечное расширение поля

P −поле разложения полинома f (x).

Доказательство применением теоремы 4.4.5 в сочетании с теоремой Безу.

4.5. Свойства конечных полей:

существование и единственность

государственныйш

введены в математическую практику в

Конечные поля были впервыек

начале

XIX

в.

информатики

французским

математиком

Эваристом Галуа.

гениальным

Поэтому конечные поля часто называют полями Галуа, а также на письме

обозначают через

элементов. Будем использовать и

GF (q)

−поле Галуа из q

Белорусский

этого же поля − F (q).

более краткое обозначениеа

Из предыдущих результатов

университет

данного разделарадиоэлектроникиследует

Теоремад

элементов имеет конечную

4.5.1.

Любое конечное поле GF (q)

> 0,

является

конечным

государственныйш

характеристику

расширениеминформатикиполя сZ / pZ,

= p

элементов,

при

этом

–

степень

содержит

расширенияы

Белорусский

[GF (q) : Z / pZ ].

Из теоремы Лагранжа о конечных группах следует, что всеаэлементы

GF (q)

универсиет

мультипликативной группы

−1 = 0. На

удовлетворяют уравнению xq−1

радиоэлектроники

самом деле имеет место

Теорема 4.5.2 (о существовании и единственностие

конечного поля).

Для каждого простого число p и для любого натуральногот

n ≥1

существует

конечное поле из

q = p

с точностью до

элементов. Это поле единственноа

изоморфизма, состоит из корней уравнения

= 0

и только из них.

xq − x

Доказательство. Если требуемое конечное поле существует, то его

элементы обязательно удовлетворяют уравнению

xq − x = 0

в силу теоремы

Лагранжа и разложения

− x = x(xq−1 −1) = 0.

Докажем

требуемого

конечного

поля.

Многочлен

существование

ϕ(x) = x

− x

(Z / pZ )[x].

Согласно теореме

принадлежит кольцу полиномов

поля

Z / pZ,

являющееся полем

4.6 существует конечное расширение

государственныйш

′

Это

разложения данного полинома. Формальная производная

(x) = −1 ≠ 0.

информатики

что уравнение

− x = 0

не

означает, согласно следствию изитеоремы 3.6.3,

имеет кратных корней. Следовательнот

, уравнение

− x =

имеет в поле

в точности

множество всех этих

различных корней. Обозначим через

Белорусский

университет

0,1 Z / pZ.

Для произвольных

a, b S

согласно

корней.

содержит

радиоэлектроникиq

государственныйш

= a

−b ,

а по условию

= a, b

= b.

Следовательнок,

теореме 4.1.4 (a − b)

информатики

(a − b)

= aе− b,

Согласно критерию подгруппы, это означаети

то есть a −b S.

что множествоф

является группой относительно сложения. Аналогичнот

доказывается, что все ненулевые элементы множества

образуют группу

Белорусский

Таким образом,

являетсяуниверситетполем,

относительно умножения.

полем из

− x.

радиоэлектроники

элементов – корней полинома

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие)

#
15.06.20142.76 Mб85lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk.pdf
#
15.06.2014699.64 Кб82Пособ_ЗИ.pdf
#
15.06.2014804.21 Кб83Пособ_поточ.pdf
#
15.06.2014970.81 Кб110Пособ_ТК.pdf
#
15.06.2014930.94 Кб222Прикладная_математика_и_теория_норм_синдромов_Мет_пос.pdf
#
15.06.2014716.14 Кб126Словарь терминов по информационной безопасности.pdf