Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория кодирования

Файл:

Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие) / lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

государственныйш

3. КОЛЬЦА, МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛЯ

информатики

3.1. Основные понятия о кольцах

радиоэлектроники

Белорусский

с дву-

университет

Определение 3.1.1. Кольцом называется непустое множество

государственныйш

мя бинарными алгебраическими операциями сложения (+) и умножения (·);

относительно операции сложения

является абелевой группой, а умножеи

ние и сложение связаныазаконами дистрибутивности:

информатики

(a+b)·c=a·c+b·c; a(b+c)=ab+ac для произвольных a,b,c K.

Рассмотрим типичные примеры колец.

Пример 3.1.3. Множество всех квадратных матрицрадиоэлектроникиданного порядка

n с

Примере

3.1.1.

(Z,

) –

кольцо целых чисел.

Белорусский

>1.и

университет

первогом курса.

Примерф т3.1.2.

(Z / nZ, +, ) – кольцо классов вычетов по модулю

Названныеа

кольца достаточно глубоко изучены в первом разделе. Сле-

дующие три примера в той или иной степени известны каждому студенту уже с

рациональными, вещественными или же комплексными

дкоэффициентами отно-

сительно операций матричного сложения и умножения. Общепринятые обозна-

чения этих колец:

M n (Q),

M n (R),

M n (C)

соответственноф т .

непустого множест-

Пример 3.1.4. Множество всех подмножеств Ωа(M )

ва M .

•

Оно является абелевой группой относительно операции симметриче-

ской разности

← → (см. пример 2.2.2).

Здесь операция пересечения мно-

жеств

играет

роль умножения. В теории множеств известно тождество:

государственныйш

•

= ( A

•

что симметрическая

( A← →B) ∩C

∩C)← →(B ∩C), которое означает,

разность и пересечение связаны законом дистрибутивности. Данное кольцо но-

ленных на данноминформатикиинтервале

(a,b) числовой оси с обычными операциями сло-

сит название – булеан в честь английскогой

математика XIX в. Джорджа

Буля,

основателя математической логикие.

всех вещественных функций, опреде-

Пример 3.1.5. Множество F(a,b)

радиоэлектроники

с естественными операциями сложения и умножения

тами отБелорусскийпеременной

Многообразиемколец чрезвычайно широко. Предложеннуюгосударственныйвыборкушизк

университет

жения и умножения функцийы .

Пример 3.1.6.

КольцоВ тполиномов

R[x] с вещественными коэффициен-

информатики

полиномов.

радиоэлектроники

пяти простейших примеров нельзя считать репрезентативной. По числу эле-

университет

ментов кольца делятся на конечные (пример 3.1.2) и бесконечныеы(примеры

ум-

3.1.1, 3.1.3, 3.1.5). Основная классификация колец ведется по свойствамВ т

ноженияа. Соответственно определяются направленияБелорусскийисследований колец, со

своими методами и техникой. Наиболее развитой следует считать теорию ас-

социативных колец.

государственныйш

называется ассоциативным кольцом, ес-

Определение 3.1.2. Кольцо

информатики

ли

определенная

на

нем

умножения

обладает

свойством:

операция

(ab)c = a(bc) для произвольных

a,b,cиK.

радиоэлектроники

Кольцо К называется кольцомк

с единицей, если оно ассоциативно и име-

Белорусский

ет нейтральный элемент относительно операции умножения.

университет

для произвольных

Кольцо К

называется коммутативным, если ba = ab

ника, генетика,егеометрия), кольца Ли (теория алгебраическихгосударственныйгрупп, геомет-к

a,b K.

информатики

Приведенные вышеапримеры колец 3.1.1–3.1.6 являются ассоциативными.

Не ассоциативные кольца также являются серьёзным объектом исследований.

К ним относятся важные для приложений йордановы кольца (квантовая меха-

радиоэлектроники

рия,

Белорусский

дифференциальные уравнения). Приведем простейший пример кольца

университет

Ли.

Множество всех классических векторов

Пример 3.1.7.

Втрехмерного

. Как

пространства с операциями сложения и векторного умножения векторова

(

)

известно, векторное умножение не ассоциативно. К примеру, здесь

(

ik ) = i (− j ) = −k

≠

0 .

Отметим также, что данное кольцод

(V3

, +,×) , как и в

примере 3.1.3, не является коммутативным.

Общих свойств у колец немного. Приведем

фнекоторые из них. Как и во

определенаа

обратная алгебраи-

всякой аддитивной группе, в любом кольце K

ческая операция – вычитание:

a −b = a + (−b).

Это не ассоциативная операция,

без нейтрального элемента. Тем не менее справедлива

Теорема 3.1.1.

Во всяком кольце

K операции вычитания и умножения

государственныйш

a,b,c K

связаны законами дистрибутивности, то есть для произвольных

a(b − c) = ab − ac;

(a −иb)c = ac − bc.

информатики

Доказательство.

b = 0 + b = (c − c) + b = c + (−c) + b =еc + b + (−c) = c + (b − c).

Следовательно,

ab = a(c + (b − c)) = ac + a(b − c). Этим доказано первое дистрибутивное равен-

радиоэлектроники

одинБелорусскийиз сомножителей равен нулю, само равно нулю. Иными словами, для

ство из теоремы. Аналогично доказывается второе соотношение дистрибутив-

a0 = a(b − b) =государственныйab − ab = 0, чтош и

Доказательством. В силу теоремы 3.1.1

ности.

университет

Лемма 3.1.1. В любомВ ткольце K любое произведение, в котором хотя бы

информатики

произвольного

a K произведение

0a = a0 = 0.

частьмпервого доказываемого соотношения. Так жерадиоэлектроникипроверяется и вторая ее

Белорусский

требовалось доказать.

университет

В любом кольце K для произвольных

Теорема 3.1.2.

a,b K

справедлиы

(−a)b

= a(−b) = −ab;

(−a)(−b) = ab.

вы равенства

Отсюда следуета

Доказательство.

ab + (−a)b = (a + (−a))b = 0b = 0.

первая

часть. Используя доказанное, получаем:

(−a)(−b)

= −(aд(−b))

= −(−ab) = ab.

0 =1. Тогда длягосударственныйпроизвольногош aкK согласно лемме 3.1.1

a = a 1 = a 0 = 0.

Теорема 3.1.3. Пусть

K −кольцо с единицей, содержащее более одного

элемента. Тогда

информатики

0 ≠1.

Доказательство. Пусть в кольцеиK нейтральные элементы совпадают:

радиоэлектроники

основеБелорусскийтеории полей, алгебраической теории чисел, современной алгебраиче-

Следовательно,

Теорема доказана.

состоит из единственного элемента 0.

университет

делятся на кольца с единицей и без единицы,

Ассоциативные кольцаы

е3.2. Мультипликативная группа кольцагосударственныйш

коммутативные и некоммутативныеВ т

. Теория коммутативных колец лежит в

информатики

ской геометрии [11].

радиоэлектроники

па (её называют мультипликативной группой кольцаБелорусскийK).

университет

Теорема 3.2.1.

Пусть

K −ассоциативное кольцо с единицей. Множеы

cт-

во K*

обратимыха

относительно умножения элементов кольца

ВK естьт

груп-

Доказательство состоит в скрупулезной проверке аксиом группы.

относи-

Пример 3.2.1. Легко видеть, что в кольце целых чисел обратимым

{

}

= 1, −1 .

тельно умножения только два числа: 1 и –1. Следовательно,

Пример 3.2.2.

M (R)

=GL (R).

Пример 3.2.3.

Мультипликативная группа

(Z / nZ )

кольца классов вы-

четов Z / nZ

по модулю

состоит из ϕ(n)

классов, порожденных целыми

числами, взаимно простыми с модулем,

согласно теореме 1.7.1.

Определение 3.2.1.

Если в кольце K

с единицей мультипликативная

группа

государственныйш

K называют телом или алгеброй с делением.

K = K \ {0}

то кольцо

Коммутативное тело называют полем.

в) C – кольцоинформатикикомплексныхс

чисел;

являются полями:

Пример 3.2.4.

Следующие кольцай

а) Q – кольцо рациональныхечисел;

б) R – кольцо вещественных чисел;

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

университет

по простому модулю p.

г) Z/pZ – кольцо классов вычетови

Пример 3.2.5. Пример некоммутативного тела.

H −тело кватернионов

информатики

– множество выражений вида

h=a+bi+cj+dk,

где a,b,c,d R, i2

= −1;

= i = −kj;

= −1; ij = k = − ji;

ki = j = −ik. Кватернионы складываются и пе-

мТеория некоммутативных тел является разделомрадиоэлектроникитеории простых алгебр.

ремножаются почленно с учетом указанных выше формул. Поэтому

H −

ассо-

Белорусский

циативноее, но неекоммутативное кольцо с единицей. Непосредственно проверя-

К a

+ b

+ c

+ d

университет

h ≠

ется, что для всякого

обратный кватернион находится по формуле

−

a − bi − ij − dk

Во всяком теле

на-

коммутирующие со всеми элементыдобразуют поле

зываемое центром тела

Т.

Тело Т

является векторным пространством над

Наиболее развита теория конечномер-

этим центром, а точнее алгеброй над

ных тел (у которых

над Z

dim(Т : Z ) < +∞) ). Известно, что размерность

всегда является квадратом:

для некоторого натурального

dim(Т : Z ) = n

государственныйш

что

содержит максимальныес

над центром

подполя размерностью

информатики

Свойства тела существенно зависят от свойств центра. Следующая теорема дает

описание конечных тел.

Теорема 3.2.2

Всякое конечное тело является полеми .

(Веддерберна).

Белорусский

университет

радиоэлектроники

государственныйш

3.3. Делители нуля в кольцах

информатики

Леммат3.1.1 отмечает, что в каждом кольце произведение элементов, сре-

ди которыха

есть нулевые, обязательно равно нулю. В числовых кольцах верно и

обратноеК

ab = 0,

: если произведение

то крайней мере один из сомножителей

Белорусский

равенмнулю. Однако в общем случае это не так.

университет

Определение 3.3.1. Если в кольце

K найдутсярадиоэлектроникиненулевые элементы

a и

b, такие, что произведение ab=0,

то их называют делителямид

нуля.

Пример 3.3.1.

В кольце

(V3 , +,×)

каждый отличныйе

от нуля элемент яв-

ляется делителем нуля:

v ×v = 0 .

M3(R)

Пример 3.3.2.

В кольце матриц

делителей нуля яв-

примерамиа

ляются матрицы A =

и B

, так как A·B=0.

q являются делите-

Пример 3.3.3.

В кольце Z/nZ с n=pq классы

лями нуля.

Пример 3.3.4. Кольцо

F(a,b), рассмотренное в примере 3.1.5, – с дели-

государственныйш

a < x ≤ c < b;

f (x)

телями нуля. Примером могуткслужить функции

c ≤ x < b

информатикис

g(x) =

a < x ≤ c;

тОчевидно, произведение

f (x)g(x) −

нулевая на от-

≤ x < b.

Белорусский

резкеуниверситет(a,b) функция.

Теоремарадиоэлектроники3.3.1.мВ любом ассоциативном кольце

K с единицейгосударственныйделителиш

информатики

нуля не обратимы относительно умножения.

a,b K

Доказательство. Пусть для ненулевых элементов

их произведеы

−1

ние

и пусть в кольце

K существует обратный элемент

Вb .

ab = 0

Тогда в

−1

abb

= (ab)b

Белорусский

С другойа

стороны,

силу ассоциативности умножения

= 0b

университет

−1

abb

) = a 1

= a.

Таким образом,

a = 0,

чторадиоэлектроникипротиворечит условию

м= a(bb

a ≠ 0.

Теорема доказана.

Примеры 3.3.2 и 3.3.3 имеют более общую природу.

государственныйш

Теорема 3.3.2.

Z / nZ

с составным

всякий ненулевой

В кольце

информатики

класс или обратим или является делителем нуля.

Доказательство.

Пусть

k −натуральное число, 1 ≤ k ≤ n,

−соответ-

радиоэлектроники

взаимно просты,

ствующий класс вычетов в кольцекZ / nZ.

Если

то

Белорусский

согласно

теореме 1.7.1. Пусть k

k −обратимый элемент кольца

Z / nZ

университет

государственныйш

не взаимно просты, то есть

НОД(k, n) = d >1. Тогда

n = n1d,

= k1d

для

k1. Тогда

k , n1

−ненулевые классыи

подходящих натуральных чисел

кольца

Z / nZ,

n =

информатики

их произведение

поскольку

произведение

n k = n (dk )

м= nk

−кратно n.

Тем самым теорема доказана.

(n d )k

В матричном кольце

M (R)

радиоэлектроники

Теорема 3.3.3.е

всякая ненулевая матрицак

Белорусский

либо обратимат, либо является делителем нуля.

университет

Пусть

аДоказательство.

A −произвольная ненулевая квадратная матрица

порядкаК

с вещественными коэффициентами. Если

det A ≠ 0,

то она обрати-

ма, какм

известно каждому первокурснику. Пусть

det A = 0. Тогда найдетсяа

та-

кая матрица

X M (R),

что произведение

AX = 0.

В самом деле, выписанное

матричное уравнение относительно неизвестной матрицыд X

эквивалентно

системам линейных уравнений относительно неизвестных – координат каждого

из столбцов матрицы

X с одной и той же матрицейфкоэффициентовт

при неиз-

вестных – матрицей

уравненных уравнений,

Согласно теории линейныха

каждая из таких систем имеет ненулевое решениеК

. Это означает существование

искомой ненулевой матрицы

X .

Теорема доказанам.

государственныйш

информатики

3.4. Идеалы колец

Определение 3.4.1.

Подкольцо кольца K –- это подгруппа аддитивной

группы (K, +), в свою очередь являющаясяи

кольцом, то есть замкнутая отно-

радиоэлектроники

государственныйш

сительно операции умножения в кольцек

Белорусский

Z −под-

Пример 3.4.1.

(nZ, +,

) −подкольцо кольца

целых чисел;

ницей.

университет

кольцо кольца

Q рациональных чисел;

−подкольцо кольца

R веществени

информатики

ных чисел. Первое из них - это кольцо без единицы, хотя само кольцо Z

с еди-

Пример 3.4.2.

Матричное кольцо M (R)

содержит подкольцо матриц

радиоэлектроники

Белорусский

университет

С=

| a,b R

оно в свою очередь содержит

подкольцо скалярныхи

−b

| a

. Это коммутативные подкольца некоммутативногоа

матриц S=

кольца

M 2 (R) . Само кольцо содержит много делителей нуля согласно теоре-

ме 3.3.3, а подкольца

и S их не содержат и болееетого

являются полями.

государственныйш

Второе из них по своим свойствам идентично полю вещественных чисел, а пер-

информатики

вое – полю комплексных чисел.

иявляются

Подкольцами

кольца

M 2

(R)

также

множества

матриц

рех подколецрадиоэлектроникине содержит единицы, однако имеют односторонние нейтральныее

a 0

0 c

a b

b 0

| a,b R ;

0 d

| c, d R ;

| a,b R ;

0 0

университет

элементы. Напримерд

, в кольце

левыми единицами являютсягосударственныйматрицыш

| c, d

Ни одно их этих четы-

Это некоммутативные кольца.

информатики

радиоэлектроники

0 0 и т0 0 .

Белорусский

университет

Приведенные примеры показывают, что подкольца, в общем случае,

практическим

не наследуют свойства колец. Поэтому в теории колец наибольшееа

значение имеют подкольца специального вида – идеалы.

Определение 3.4.2.

Подкольцо

кольца

называется левым идеа-

лом кольца

если для любого k K

и для

каждогоеj J произведение jk J,

то есть

Jk J.

Если же

kJ J

то

называют

для всех элементов kтK,

правым идеалом.

Двусторонний идеал

– идеала, являющийся одно-временно и

левым и правым идеалом.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалым двусторонние.

Пример 3.4.3. mZ={mq|q Z} – двусторонний идеал кольца целых чисел

для

всякого

натурального

Очевидно,

mZ≠Z,

если

m >1.

Ясно, что

государственныйш

2z>6z>12z>… .

2z>4z>8z>16z>…;

Пример 3.4.4.

Z / nZ

составным

модулем

n=pq,

кольце

следовательно, образуетинформатикиподкольцос

. Обозначим его через

J p.

Легко видеть

{p,2 p,....,(q −1) p, 0}

p >1, q >1,

вычетов

легко видеть, что множество классов

и умножения классов вычетов и,

замкнуто относительно операций сложения

радиоэлектроники

={Белорусскийq, 2q, ....., ( p

−1)q, 0}.

государственныйш

университет

что

J p −идеал.

Аналогично

идеалом

является

множествои

правые идеалыд, а

J4 − левые идеалы.

информатикис

M (R)

подкольца

Пример 3.4.5.

В матричном кольце

J есть

радиоэлектроники

университет

Пример 3.4.6.

В любом кольце

множество

{0}

K формальноы

также являются идеалами кольца K. Их называют несобственными, или триви-

альными, в отличии от остальных – собственных идеалов.

Отметим основные свойства идеалов.

есть идеал

Теорема 3.4.1.

1. Пересечение идеалов данного кольца K

этого же кольца.

ца K.

государственныйш

2. Если

J1 , J2

−

K, то их сумма, то есть

левые (правые) идеалы кольца

информатики1 2

множество всех сумм

есть левый (правый) идеал коль-

{j1 + j2 | j1 J1

; j2

J2 }

радиоэлектроники

J Jс={ j

J }

| j

J ;

левых (правых)

Произведение

идеалов

левыйБелорусскийидеал кольца К.

университет

J , J

кольца K

есть левый (правыйи

) идеал этого же кольца.

4. Для каждого элементаВ т

кольца

множество

государственныйш

aK={ak|k K}

есть

информатики

5. Если в кольце

c единицей

элемент

a K ,

то

<a>=K;

если же

a K ,

то <a> – собственный идеал кольца K.

радиоэлектроники

6. Еслие K –екоммутативное кольцо и a=bc для не обратимых элементовк

т< a

> < c

< a > < b >.

Белорусский

a,b,c K, то

университет

аДоказательство состоит в прямой проверке всех аксиом идеалов.

Следствие.

В каждом поле отсутствуют делители нуля и собственные

идеалы.

Доказательство. Поскольку в поле все элементы, кроме 0, обратимы, то из

5-й части теоремы 3.4.1 следует, что в поле нет собственных идеалов. С другой

енуля (необратимые

стороны, из 5-й части теоремы 3.4.1 следует, что делители

элементы кольца) порождают собственные идеалы. Отсюда следует, что в поле

нет делителей нуля.

Определение 3.4.2.

< a > кольца

порож-

Левым главным идеалом

денным элементом a K, называется идеал из 4-го пункта теоремы 3.4.1, то

есть подкольцо кольца

состоящее из всех элементов

ak,

k K.

Правый

главный идеал

< a >

состоит из всех элементов

ka,

k K.

число из идеала

государственныйJ. Тогда m делитсяк

на

В противном случае по теореме о

Теорема 3.4.2. В кольце целых чисел

Z – всякий идеал J – главный.

информатики

Доказательство. Пусть

J −ненулевой идеал кольца Z. Так как J −груп-

па относительно сложения, то

обязательно содержит натуральные числа.

J. Пусть

m −произвольное целое

Пусть t – наименьшее натуральное число из

На множестверадиоэлектроникиидеалов каждого кольца существует отношение частичного

Белорусский

делении с остатком

m = tq

+ r

для подходящих целых

причем

ный. Теоремауниверситетдоказана.

государственныйш

0 < r < t.

Тогда

t. Следоваи

r = m

− tq

J , что противоречит минимальности

порядка по

двключению их друг в друга как множеств. Особуюинформатикирольсиграют

тельно,

m = tq

для каждого

m J.

Это означает, что идеал

J =< t > −

глав-

мТеорема 3.4.3.

В кольце целых чисел идеал

Jрадиоэлектроникимаксимальным тогда и

Белорусский

условиемК

M J.

университет

максимальныее

идеалы.

4.3.

Идеал

(левый,

Определениет

правый, двусторонний) кольца К

называетсяа

максимальным, если в

не существует собственного идеала J с

только тогда, когда существует простое число

J =< p >.

такоед , что

Доказательство следует из 6-й части теоремы 3.4.1.

государственныйш

Упражнение 3.4.1.

Z /12Z

выписать все иделы, расположить

В кольце

информатики

их в порядке включения, указать максимальные идеалы.

радиоэлектроники

отличные от нуля,

обратимы,

иными

у которогоБелорусскийвсе

элементы,

словами

университет

3.5. Арифметические свойства полиномов

и умножения

многочленов. По своимгосударственныйсвойствам поли-к

операциями сложенияе

Пусть

P – поле,

Вто есть произвольное коммутативное кольцо с единицей,

информатики

P =P\{0}.

Например,

P=Q, R, C, Z/pZ.

мкольцо полиномов с коэффициентами из

Пусть

P[x] –

с обычными

радиоэлектроники

Белорусский

номы близки к целым числам. Например, как и для целых чисел имеет место

университет

многочленовы

Теорема 3.5.1 (о делении с остатком).

Для

любых

двух

f (x)

и g(x)

≠ 0

из кольца

P[x]

существуют единственныеВмногочлены

q(x)

r(x),

такие, что

(x) = g(x)q(x) + r(x),

причем

r(x) =а0

или сте-

пень

r(x)

меньше степени

g(x).

Доказательство.

Пусть

f (x) = a xn

+ a

дxn−1

+... + a ,

n−1

g(x) = b xm

+ b

xm−1 +... + b .

Если

n < m,

то

Пусть

q(x)

= 0, r(x) = f (x).

n ≥ m.

m−1

Тогда

для

= a

/ b

разность

аn−m

f (x) − g(x) c

xn−m = d

xK + d

k −1

xk −1

+... + d

=Кd (x)

является полиномом коль-

n−m

ца P[x] степени

k ≤ n −1. Если

deg d(x) < deg gм(x),

то теорема доказана, так

как в качестве

q(x)

можно взять

xn−m ,

а в качестве r(x) −полином

d (x).

государственныйш

n−m

ck −m = dk / bm

Если

же

≥ m,

то

для

вычислим

разность

d(x) − g(x) ck −m x

k −m

= es x

s−1

+... + e0

= e(x).

Если

deg e(x) < deg g(x),

+ es−1 x

информатики

n−m

k −m

то

теорема

доказана:

q(x) = cn−m x

+ ck −m x

, r(x) = e(x).

Если

deg e(x) ≥ deg g(x),

то продолжаем аналогичное рассуждение с

e(x)

и так да-

лее.

радиоэлектроники

n − m +1 −м шаге, мы получим равен-

В конце концов, самое большее на

БелорусскийЗамечание.

Доказательство теоремы 3.5.1 конструктивно, из него непо-

+...и+ c ) + r(x),

государственныйш

«уголком».

ство

университет

xn−m

где

deg r(x) < deg g(x)

или же

f (x) = g(x) (c

n−m

r(x) = 0. Таким образом, теоремат

доказана.

информатики

средственно вытекает известный алгоритм деления многочлена на многочлен

мЕсли в равенстве f (x) = g(x) q(x)

степени сомножителейрадиоэлектроникине меньше 1,

Белорусский

Определение 3.5.1.

В условиях теоремы 3.5.1 многочлен q(x)

называ-

делителямиК

или множителями полинома

f (x) .

университет

r(x)

остатком от деления

f (x)

Если

ют частным, а полином

на

g(x).

f (x)

делится на

g(x),

g(x)

q(x) называют

r(x)=0, то говорят, что

то q(x)

и g(x)

f (x) .

называют нетривиальными делителями многочлена

государственныйш

поля

является делителем лю-

Очевидно, каждый ненулевой элемент

информатики

бого многочлена из кольца

P[x] . Поэтому элементы полей называют триви-

альными делителями полиномов.

Теорема 3.5.2.

P[x] яв-

Обратимымикмногочленами в кольце полиномов

том

радиоэлектроникикоторый делится на любой другой общий делитель. Его обозначаюте

Белорусский

и только они, то

ляются многочлены нулевой степени, отличные от нуля,

2университетs

есть

P[x] = P .

Наибольшим

общим

государственныйш

3.5.2.

Определение

делителем

многочленови

Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителяинформатики, рассмот-

f )x), f (x),..., f

(x)

называется их общий делитель со старшим коэффициен-

НОД( f

(x)).

(x),

fд(x),..., f

радиоэлектроники

из кольца P[x]

(с точностью до множителей изБелорусскийполя P ) совпадает с послед-

университет

ренныйфв первом разделе для целых чисел, справедлив и для полиномовы.

Теоремаа

3.5.3.

Наибольший общий делитель многочленов

ти g(x)

f (x)

ним отличным от нуля остатком rn (x)

следующей цепочки равенств:

= g(x)q1 (x) + r1 (x);

{f (x)

= r1 (x)q2 (x) + r2 (x);

{g(x)

{ .............................

{rn−2 (x) = rn−1 (x)qn (x) + rn

(x);

{rn+1 (x) = rn (x)qn+1 (x).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.2.2.

Пример

государственныйш

общий

делитель

многочленов

3.5.1.

Найдем

наибольший

f (x) = x4

+ 3x3

− 4x −

g(x) = 3x3

+10x2 + 2x − 3

в кольце

Q[x].

информатики

Согласно теореме 3.5.3 наибольший общий делитель по алгоритму Евк-

лида получается с точностью до константы. Поэтому и сам алгоритм бу-

(x)q (x) + r (x)государственный; здесь

g(xрадиоэлектроники) = (x + 5x + 6)(3x − 5) + (9x + 27) = r%

дем реализовывать с точностьюк

до множителей из Q с целью проведе-

Белорусский

университет

преимущественно

ния

вычислений

целыми

коэффициентами.

Последовательным делением «уголком» с учетом сказанного получаеми

информатики

следующую

систему

равенств

алгоритма

Евклида:

+ (−1/ 3)(5x

+ 25x + 30) = g(x)q (x) + r (x) ;

3 f (x) = g(x)(x −1/ 3)

g(x) называютрадиоэлектроникивзаимном

мОпределение 3.5.2.

Многочлены f(x) и

просты-

Белорусский

r%(x) = (−3/ 5)r (x);

университет= x + 3.

Таким образом, НОД( f (x), g(x)) = (1/ 9)r2 (x)

+ 3)(x + 2),

то есть

r%(x) = r% (x)q (x) для

+ 5x + 6 = (x

аr (x) = (1/ 9)r (x).

ми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Обратной прогонкой алгоритма Евклида получается следующее утвер-

ждение – критерий взаимной простоты двух многочленов.

(xи) и

g(x) являются взаимно простыми

Теорема 3.5.4. Многочлены

государственныйш

такие полиномы

u(x), v(x),

для кото-

тогда и только тогда, когда найдутсяк

информатики

рых выполняется следующее равенство (соотношение Безу для многочленов):

f (x)u(x) + g(x)v(x)

=1.

С помощью этого критерия получается ряд следствий, имеющих незавии

Белорусский

их в виде отдельных предложений.

симое значение. Приведема

университет

Если многочлен

f (x) взаимно прост с каждым из

Предложение 3.5.1.

радиоэлектроники

многочленовдφ(х)

то он взаимно прост и с их произведением.

и ψ(х),

государственныйш

Доказательство. Согласно критерию взаимной простоты полиномовс

име-

ют

фместот

следующие

соотношения:

информатики

f (x)u(x)

+ϕ

(x)v(x)и=1,

f (x)u%

(x) а+ψ(x)v%(x) =1.

Перемножим друг на друга соответственно левые и

f (x)UБелорусский(x) + (ϕ(x)ψ

для

правые части этих равенств. Получим

(x))V (x) =1

университет

что в силу

V (x) = v(x)v(x)

U (x) = f (x)u(x)u(x) +ψ (x)u(x)v(x) +ϕ(x)u(x)v(x),

радиоэлектроники

теоремы 3.5.4 означает взаимную простоту

f (x)

(x)ψ (x).

и произведения

f(x)е

g(x)

делится

Предложение 3.5.2. Если произведение многочленове

на многочлен ϕ(x),

но НОД( f (x),ϕ(x)) =1,

то g(x) делитсят

на ϕ(x).

леммы 1.4.1.

Доказательство дословно повторяет доказательствоа

Предложение 3.5.3.

Если многочлен

Кf (x) делится на каждый из по-

парно взаимно простых полиномов

то

f (x)

делится и

ϕ1 (x),ϕ2 (x),...,ϕm (x),

на их произведение

ϕ1 (x)ϕ2 (x) ... ϕm (x).

Доказательство в силу предложения 3.5.1 достаточно провести для случая

m = 2.

Пусть

f (x) делитсяи

на многочлены

ϕ1 (x), ϕ2 (x),

которые взаимно

просты друг с другом.

По теореме о делении с остатком

f (x) =ϕ (x)q(x).

Произведение ϕ (x)q(x)

ϕи(x),

но

НОД(ϕ (x),ϕ

(x)) =1.

Соглас-

делится на

но предложениюгосударственный3.5.2 многочленш

q(x)

должен делиться на

(x). Следова-

тельно,

информатики

Таким обра-

f (x) =ϕ1 (x)ϕ2 (x)q(x)

для подходящего полинома q(x).

зом,

f (x)

ϕ1 (x)ϕ2 (x)

и предложение 3.5.3 доказанои .

делится на произведение

f (x) P[x] степени

n ≥1 называется

Определение 3.5.3. Многочлен

Белорусский

неприводимымуниверситетв кольце

P[x], если в любом его представлении в виде произве-

дения

f (радиоэлектроникиx) = g(x)q(мx) сомножителей

g(x), q(x) P[x]

одингосударственныйиз этих сомнош

информатики

жителей является константой, то есть элементом поля

Структура неприводимых полиномов существенно зависит отыполя

Если

= C −поле комплексных чисел,

то неприводимыми полиномамиВ

только полиномы 1-й степени согласноБелорусскийосновной теореме алгеб-

C[x]

являютсяа

университет

ры. Отсюда следует, что в кольце

R[x] неприводимыми являются лишь поли-

радиоэлектроники

номы первой степени, а

также второй степени с отрицательным дискриминан-

том. Что касается кольца Q[x],

n ≥1 суще-

то здесь для каждого натуральногое е

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие)

#
15.06.20142.76 Mб85lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk.pdf
#
15.06.2014699.64 Кб82Пособ_ЗИ.pdf
#
15.06.2014804.21 Кб83Пособ_поточ.pdf
#
15.06.2014970.81 Кб110Пособ_ТК.pdf
#
15.06.2014930.94 Кб222Прикладная_математика_и_теория_норм_синдромов_Мет_пос.pdf
#
15.06.2014716.14 Кб126Словарь терминов по информационной безопасности.pdf