Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие) / lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk

государственныйш

и

Sn .

новок (композиции отображений) и обозначают через

информатики

й

и

Теорема 2.8.1.

е

равен

n!

Порядок группы

Sn

Доказательство методом математической индукции. При n = 2

на множе-

{

}

с

к

е

радиоэлектроники

стве Ω = 1,2 существует в точности

2! = 2 различных подстановок – это то-

подстановкиБелорусскийна

n −элементнома

множестве. В качестве

f (1)

можно взять лю-

университет

ы

e

ииподстановка

f ,

такая,

f (1) = 2,

f (2) =1.

ждественная подстановка

Предположим по индукцииВ т, что

Sn−1

= (n −1)!

государственныйш

Перечислим все возможные

Sn = n(n −1)!= n!,

что и требовалось доказать.

и

информатикис

й

м

На долю остальных значений ос-

бой из элементов множества Ω ={1,2,...,n}.

е

е

индукции

(n −1)!

к

тается по предположениюд

возможностей. Таким образом,

радиоэлектроники

ф

т

Белорусский

и

а

а

университет

К

Пример

2.8.2.

В

силу

теоремыы

2.8.1

S2 = 2;

S3

= 6;

S4 = 24;

S5

=120 .

В

т

м

S

n

в произведение более простых подстановока

.

Разложим подстановки из

Идею разложение поясним на примере подстановок

f

и

g,

м

указанных выше.

е

д

е

ф

т

4

а

К

а

3

f:

1

3

g:

1

4

2

м

2

государственныйш

f

= (1,2,3,4)

или, если это не

Подстановка

f

кратко записывается в виде

и

f

= (1234)

и носит название цикла длиной 4, а

вызывает разночтений, в виде

информатики

й

подстановка g записывается

е

и

в виде

g = (14)(23) произведения двух независи-

мых (не пересекающихся) циклов (14)

и (23) длиной два.

радиоэлектроники

с

кПусть

Sn – произвольная симметрическая

Перейдем к общему случаю.

i, j ΩБелорусский= 1,2,K,n

назовем

Γ -эквивалентными,

если найдется подстановка

ы

и

n

f

университет

государственныйш

группа степени

n и

f

−произвольный элемент из

S . Пусть Γ

=< f >

цик-

В

т

f .

и

лическая

подгруппа,

порожденная

подстановкой

Элементы

{

f

}

а

f

информатики

й

е

g = f k

м

g−1

( j) =i.

к

для подходящего целого k, что g(i) = j. Тогда

Очевидно,

бите,ми если

i Ω

то

Ω

состоит из образов точкирадиоэлектроникиi при действии степеней

а

Белорусский

. То-

отношение Γд-эквивалентности рефлексивно, транзитивно, симметричнос

1

е

е

университет

и

p

-эквивалентныхы

гда Ω

разбивается на попарно не пересекающиеся классы

Γf

ф

т

В

т

а

элементов,

называемых

f -орбитами, или

Γf

-орбитами:

друг

другу

ΩК=Ω K Ω .

Каждая точка

а

i Ω принадлежит в точности одной f -ор-

2

k

t−1

k

где t =t

=

Ω

−длина

д

м

f : i, f (i), f

(i),...,

f

(i),

Ω

. Очевидно,

k

k

f -орбитые

k

ф

е

т

а

К

а

13

м

Положим

fгосударственный= (i, f (i),K, f

(iк)) =

.

Тем самым

tk ≤<| f

и

>. Ясно, что

f t (i) =i, причем t =tk − наи-

>| −порядок подгруппы < f

k информатикис

й

f (i)

f 2 (i)

K

i

е

и

меньшее натуральное число с таким свойством.

ш

i

f (i)

K

f tk −1(i)

радиоэлектроники

tk

−1

k

и

е

Белорусский

и

университет

циклом длиной tk , действующую тождест-

получим подстановку, называемуюы

В

т

государственныйш

венно на остальные элементы из

Ω. Вопрос вкуса и удобства – писать (1 2 …

Итака, fk

1

f

p

информатикис

й

m)

или

(1,2,…,m).

действует как

на

Ωk

и тождественно на

Ω \ Ω .

м

fk

и

fl,

k ≠ l ,

независимыми или

Это дает основание считать циклы

е

е

к

непересекающимисяд

(так как они действуют на непересекающихся множест-

на

Ω.

разбиению Ω

= Ω K Ω

радиоэлектроники

вах). Таким образом,

соответствует разложение в

т

Белорусский

м

i

i

университет

а

f

= f

f

K f

, при этом циклы-сомножители перестановочны.и

произведениеф

а

1

2

p

т

ы

КЕстественно в произведении

f

= f1 f2 K f p

опускать сомножителиВ

, соответ-

ствующие Ω

из одного элемента,

так как

f

= e −

тождественная подстановкаа

1 2 3 4 5 6 7 8

д

м

Например,

f

=

S

в виде про-

8

можно записатье

ф

е

т

2

3

4

5

1

7

6

8

а

изведения циклов

f

=(12345)(67)(8)=(12345)(67).

а

Итогом проведенных рассуждений являетсяК

мn

f

Теорема 2.8.2.

Каждая подстановка

,

≠ l ,

является произве-

f S

дением независимых циклов длиной

l ≥ 2. Это разложение в произведение оп-

ределено однозначно с точностью до порядка следования циклов.

Следствие.

государственныйш

(равный порядку циклической

Порядок подстановки f Sn

группы

Γf

)

и

равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов,

информатики

й

и

входящих в разложение f.

е

Доказательство следует из коммутативности умножения независимых цик-

радиоэлектроники

с

к

является подстановкой поряд-

f = (i1i2 ...ik )

лов и того факта, что каждый цикл

ОпределениеБелорусский

2. 8.2.

Цикл длиной 2 называется транспозицией.

дение транспозиций.м

ы

инаименьшее

государственныйш к

ка

k,

университет