Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория кодирования

Файл:

Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие) / lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

государственныйш

a (b c) = (a b) c

для любых

a,b,c G;

ассоциативность:

информатики

существует нейтральный элемент (единица), то есть такой эле-

мент

e G,

что

g e =e g = g

для каждого

g G;

однозначнорадиоэлектроники.

g G

каждый элемент

имеет обратный, то есть такой эле-

Белорусский

Леммауниверситет2.2.1. В любой группе обратный к каждому элементу определен

мент

h G,

что g h

= h g

= eи.

государственныйш

В силу леммы 2.1.1 в любойт

группе единица определяется однозначно. Это

свойство дополняет

−информатикиf и h. сТогда

группы

(G, )

имеет два различных обратных элемента

методом от противного.

Предположим, что элемент

Доказательствод

радиоэлектроники

Пример 2.2.3. (Q,+); (R,+); (C,+) множестваБелорусскийвсех рациональных, вещест-

университет

= nh = h = f (gh) = fn = f .

Таким образом,

= h

в противоречиеы

fgh = ( fg)h

предположением. Следовательно, обратный элемент определен однозначноВ

венных и, соответственно, комплексных чисел с операцией сложения. Это так

мсложения). Ис-

называемые аддитивные группы (то есть группы относительно

торически сложилось, что все аддитивные группы являются коммутативнымие

Определение 2.2.2. Абелевыми, или коммутативными, называют группы

(G,i)

со свойством

a,b

4) aib = bia для произвольных

По исторической традиции нейтральный элемент аддитивной группы на-

зывают нулём и обозначают 0, а обратный элемент к

а – противоположным и

обозначают через –а.

и скоперацией векторного сложения. Абелевы-

щественными коэффициентамигосударственный

К аддитивным относятся группы:

(M m×n (R),

− множество прямоуголь-

ных m × n

матриц с вещественными коэффициентами с операцией сложения

матриц,

информатики

(P[x],+) −множество всехйполиномов с вещественными коэффициен-

тами и с операцией сложения,

−множествои

всех n −мерных векторов с ве-

радиоэлектроники

Белорусский

ми являются все группы из примеров 2.2.1 и 2.2.2. Всякий линейный код явля-

университет

операции сложения.

государственныйш

ется абелевой группой относительноы

МультипликативныеВ

информатики

Пример 2.2.4.

группы – группы c операцией умноже-

ния:

, ),

,а)

и т.д., где

=C \ {0},

= R \ {0}, Q

= Q \ {0}.

По свойству 4 группы делятся на абелевы и неабелевы.

элементовм

этой группы. Если G −конечная группа, торадиоэлектроникиG −ее порядок.

n >1

Пример 2.2.5.

GL (R)

−множество квадратных матриц порядка

Белорусский

КОпределение 2.2.3.

Порядком конечной группыуниверситетназывается количество

вещественнымие

коэффициентами и ненулевым определителем относительнои

умножения является неабелевой группой.

операции матричногот

аПо количеству элементов группы делятся на конечные и бесконечные.

является конечной абелевой аддитивной

Пример 2.2.6. Группа (Z

/ nZ, )

группой из n

(Z / nZ )

обрати-

элементов; в силу теоремы 1.7.1 множество

где

n −нату-

мых относительно умножения классов вычетов по модулю

государственныйш

ральное число, большееинформатикиединицыс

ϕ(n). Алгебраиче-

, образует группу порядка

ская система ( M

m×n

(Z / kZ ),+)

изи m ×n −матриц с операцией матричного сло-

жения являются конечнойВ

k .

абелевой группой порядка

ЗамечаниеБелорусский. В частном случае, при

m =1

группа

1×n

(Z / kZ ),+) состоит

университет

из

k -значных векторов и обычно

элементов. Ее называют пространством

радиоэлектроники

обозначают через

в защите

V . Они популярны в приложениях, в частности,

государственныйш

информациие, особенно пространства двоичных векторов, то есть пространства

с координатамит

из Z / 2Z.

информатики

Для каждого натурального

Предложение 2.2.1.

существует абелева

то есть группа из

группа порядка

n элементов с коммутативной опера-

Белорусский

университет

цией умножения.

Доказательство. Для каждого натурального

n радиоэлектроники>1 множество

ком-

плексных корней

n −й степени из 1,

то есть чисел

для

= exp(i2πk / n)

k = 0,1, ... , n −1,

Такой же являет-

образует коммутативную группу порядка

ся группа (Z / nZ, ) из примера 2.2.6.

n ≤5

являются абе-

Упражнение 2.2.1. Доказать, что все группыК

порядка

левыми.

2.3. Подгруппы

государственныйш

Определение 2.3.1.

(G, )

называется всякое непус-

Подгруппой в группе

информатики

тое подмножество

G , которое в свою очередь яв-

H элементов множества

ляется группой относительно той же операции.

Тот факт, что

группы

отмечают так:

H ≤G

или

есть подгруппак

радиоэлектроники

государственныйш

Белорусский

H <G, если включение

G строгое.

университет

Пример 2.3.1. Аддитивные группы целых, рациональных, вещественныхи

Примерд2.3.3.

Подмножество всех целых чисел,

делящихсяинформатикина натуральс

комплексных чисел образуют систему подгрупп: (Z,+)<(Q,+)<(R,+)<(C,+).

Пример 2.3.2. Дляалюбых натуральных

из доказательства пред-

< C .

ложения 2.2.1 следует, что C < C

радиоэлектроники

бесконечныеа цепочки аддитивных подгрупп типа (Z,+)>(2Z,+)>(4Z,+)>…Белорусский

университет

ное числоеn >1, образует подгруппу в группе целых чисел с операцией сложеи

ния. Этуф подгруппут

обозначают через (nZ,+).

Следовательно,

имеюттместо

Теорема 2.3.1 (Критерий подгруппы).

Непустое подмножество

группы (G, ) является подгруппой тогда и только тогда, когдамдля произволь-

−1

ных элементов a, b H имеет место включение

H.е

a b

государственныйш

Доказательство. Пусть

H −подгруппа группы (G, ). Это означает, в част-

изведение

a b

информатикитакже принадлежитс

Обратно, пусть

для произвольных

ности,

что

−1

H замкнута относительно операции умножения, определенной в

группе

(G, ). Следовательно, если

a, b H ,

то

принадлежит

и про-

−1

радиоэлектроники

Белорусский

имееты

−1

университет

место включение

a b

Тогда для

b = a

элементов

a, b H

−1

государственныйш

элемент

a a

= e

группы

принадлежит

Далее,

для

a = e

и произ-

b H

произведениеа

−1

информатики

вольного

e b

= b

принадлежит, по условию, подмно-

жеству H. Ассоциативность операции справедлива для всех элементов группы

Таким образом,

G, а следовательно, и для всех элементов множества

Пример 2.3.5. С помощью критерия легко убедитсярадиоэлектроники, что SL (R)

– подмно-

удовлетворяете

всеме

аксиомам группы. Теорема доказана.

Белорусский

{ }и

если

H≠G и H≠{e}.

университет

из

Примерт2.3.4.

В силу критерия, в любой группе

G подмножество

одного нейтральногоа

элемента

этой группы является подгруппой.

группы

Определение 2.3.2. Подгруппа

называется собственной,

мn

образуют

жество квадратных матриц порядка n с определителем,

равным 1,

подгруппу в

GLn (R). Действительно,

для произвольных матриц A, B SLn (R)

по свойствам определителей

det(B

−1

)

ф−1

) = det A det(B

−1

) =1. Сле-

det(AB

довательно,

AB−1 SL (R)

и согласно критериюК

SL (R)

является под-

2.3.1

группой в группе

GLn (R).

Упражнение 2.3.1. Выяснить,

являются ли подгруппой:

а) объединение

государственныйш

подгрупп; б) дополнение к подгруппе: в) симметрическая разность двух под-

групп;

г) пересечение подгрупп.

информатики

Наиболее популярными подгруппами являются циклические, нормальные

и центральные подгруппы. Переходим к их изучению.

ней элементарадиоэлектроникиа. Тогда

< a > − подгруппа группы

G , причём абелевая.

Белорусский

−1

−2

государственныйш

университет

2.4. Циклические подгруппы

Доказательствод

следует

из

критерия

подгруппы:

дляинформатикипроизвольныхс

Теорема 2.4.1. Пусть

а – фиксированный элемент произвольной группы

G. Пусть < a >={ a

= eа,a,a ,...,a

,...} – множество всевозможных степее-

радиоэлектроники

2.4.1. Подгруппа

Определениеа

< a > из теоремыБелорусский2.4.1 называется цикли-

университет

, a

< a >

−l

= a

k −l

принадлежит, очевидно,

множествуи

произведение

< a >.

порождённой элементом

ческой подгруппой группы

а. Если в группе

найдётся такой элемент b,

что

=<b >,

мназывают цик-

то такую группу

лической.

государственныйш

Пример 2.4.1.

Следующие группы являются циклическими: (Z,+) = <1>;

которого целого nинформатикии a ≠ e сдля всех целых k,

1 ≤ k < n. Тогда циклическая под-

(Z/nZ,+) = <1>;

Cn = < Zn > для

= exp(i2πk / n) .

Теорема 2.4.2. Пусть элемент a G обладает свойством: an = e для не-

радиоэлектроники

Белорусский

группа

университет

< a >={ a,a

,...,a

= e }.

< a

имеет порядокы

государственныйш

Доказательство. Заметим, что для целых

1 ≤ k < n,

)

−1

= a

n−k

информаики

Определение 2.4.2.аВеличина n из теоремы 2.4.2 называется порядком

элемента

такого

не существует, то

Если же для элемента a G

говорят, что элемент a G имеет бесконечный порядок.

радиоэлектроники

Примере

2.4.2.е

Любое ненулевое целое число имеет бесконечный порядокк

Белорусский

в аддитивной группе целых чисел.

университет

Примера

2.4.3.

Возьмём

матрицу

A =

GL2 (ВR) .

тЗдесь

A =

; A =

;… . Степени матрицы

попарно различны и образуют

бесконечную последовательность.

Определитель

матрицые

равен 1

≠ 0.

1 −1

1 − 2

A−1 =

A−2

подгруппа, порож-

,… . Таким образом, циклическаяа

0 1

денная матрицей

A в группе GL2 (R) , является бесконечной.

−1

государственный

вида

имеет

степени

Пример

2.4.4.

Матрица

H GL (R)

−10

реме 2.4.2 подгруппаинформатики< H >сесть конечная подгруппа порядка четыре.

−1 0

0 −

H 2

;

H 3 =

; H 4

= E − единичная матрица. Согласно тео-

=е

1 0

радиоэлектроники

d = НОК(m,k),

где

НОК(m,k) − наи-

элементомБелорусскийэтой же

группы порядка

Упражнение 2.4.2.м

Доказать, что мультипликативнаягосударственныйгруппа рациональ-к

университет

Пустьиэлементы a

абелевой группы имеют

Упражнение 2.4.1.

порядки

и k соответственноВ т

. Показать, что произведение

является

m и k.

информатики

меньшее кратное натуральных чисел

радиоэлектроники

ру, выражаемуюа

теоремой 2.4.2. Отметим другиеБелорусскийосновные свойства цикличе-

ных чисел не является циклической.

университет

Из определения циклической группы следует, что она содержитысчетное

структу-

или конечное множество элементов и во втором случае имеет четкуюВ

ских групп.

Теорема 2.4.3. Всякая циклическая группа абелева.

Доказательство очевидно.

государственныйш

Теорема 2.4.4.

Всякая подгруппа циклической группы является цикличе-

ской.

информатики

Доказательство.

Пусть

G =< a > ии

H −произвольная собственная под-

группа этой группы. Тогда

такое, что

a H. Сле-

найдетсяк натуральное

лого

радиоэлектроники

элемент

= a

−q

Белорусскийl. Как элемент циклической группы

для некоторого

такое, что

ak H. Тогда

довательно, найдется наименьшее натуральное

университет

h = (ak )l

государственныйk q

для всякого

h H справедливо соотношение:

для подходящего це-

целого

информатики

s. По теореме о делении с остатком s = kq + r для подходящих целыхй

q, r,

h = (a )

a . Следовательно,

= h (a )

H ,

Тогда

что

≤ r < k.

группы циклическими не являются. Например, все некоммутативныерадиоэлектроники

группы не

противоречите

минимальности

Значит,

r = 0

(a ) , следовательно

Белорусский

ждаетмсвою циклическую подгруппу. Тем не менееуниверситетследует заметить, что чаще

выполняетсяф

равенство:

H =< a

Таким образом

H −циклическая группаи .

Теорема доказана.

Итак, в любой группе много циклических подгрупп: каждый элемент поро-

и мультипли-

могут быть циклическими. Циклическими не являются аддитивныед

кативные группы вещественных и комплексных чисел в силу их несчетности.

Множество рациональных чисел счетно, то есть равномощноф т

множеству целых

чисел. Однако абелева группа (Q,+)

в отличие

(пример 2.4.1)

аот группы (Z,+)

также не циклична,

ведь для каждого рационального числа q =

Q подгруппа

2n ;±3n ;...}

< q >={ 0;±

;±

не

содержит рациональных несократимых

дробей

государственныйш

, r Z, s N,

у которых знаменатель s > m,

следовательно,

< q >≠ (Q,+).

ные коммутативныеинформатикии нециклическиес

группы.

В доказательстве предложения 2.2.1иобе конечные абелевы группы на самом

деле являются циклическими согласно примеру 2.4.1. Однако существуют конеч-

радиоэлектроники

модуля

n группы

Z / pZ

для простых

в опре-

ВБелорусскийотличие от составногоа

государственныйш

университет

Показатьы

Упражнение 2.4.3.

, что мультипликативная группа Z /8Z

абеле-

ва, но не циклична, а ВZ /9Zт−циклична.

информатики

деленном смысле одинаковы.

радиоэлектроники

Для каждого простого числа

Теорема 2.4.5.

мультипликативная группа

Белорусский

Проблема нерешенная [14]: конечно или бесконечноуниверситетмножество простых

Z / pZ

содержите

p −1

элементов и является циклической..

Доказательствоф

следует из более общего факта, который будет доказант

четвертом разделе.

чисел

p, для которых

Z / pZ

=< 2 >, т. е. мультипликативнаямгруппа Z / pZ

совпадает с циклической подгруппой, порожденной классомевычетов

государственныйш

информатики

2.5. Смежные классы по подгруппе

Hк−собственная подгруппа группы

(G, ).

Определение 2.5.1. Пусть

каждый левыйрадиоэлектроникисмежныйм

класс совпадает с правым:

aH = Ha,

то тогда смеже-

Белорусский

{

}

ный классуниверситетbH и так далее. Аналогично строят правые смежные классы. Если

Пусть

a G

. Через

обозначим множество элементов

ah h

и на-

ные классы называют двусторонними. Такими являются смежныегосударственныйклассы вшлю-

зовем его левым смежным классомт

группы G по подгруппе H.

можно построить новый левый смеж-

Если существует b G , b H aH ,

бой абелевой группе G. Смежные классы обладают рядом важныхинформатикисвойствс , ко-

радиоэлектроники

Белорусский

университет

торые отражаетф

Теоремаа

2.5.1.

Пусть Н – собственная подгруппа группы G. Тогдат:

1) каждый элемент g G

принадлежит какому-нибудь левому смежно-

му классу по подгруппе H;

2) два элемента a,b G принадлежат одному левому смежномум

классу

тогда и только тогда, когда

a−1 b H ;

3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпа-

дают;

H совпадают;

4) для всякого

a G

мощности множеств

5) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смеж-

ных классов по подгруппе H.

Доказательство. Первое утверждение очевидно: поскольку любая под-

группа

государственныйш

g G принад-

H содержит нейтральный элемент, то каждый элемент

gH.

лежит порожденному им смежному классу

информатики

a,b G

принадлежат одно-

Докажем второе свойство. Пустьй элементы

му смежному классу

gH.

a = gh1 ,

b = gh2

для подходящих

Следовательнои ,

−1

) (ghк) = h

−1

радиоэлектроники

(g g)h

= h

h H ,

что и требова-

h , h H.

Тогда

b = (h

Белорусский

точно так же доказываетсям

обратное включение. Следовательногосударственный, aH = cH.

, h2

Hуниверситет. Следовательно,

= ch2 h1

= ch3 .

Отсюда следует, что

aH cH.

Ное

лось доказать.

ии

Докажем третье свойство. Предположим, что смежные классы

информатики

имеют общий элемент

В таком случае

d = ah1 = ch2

для подходящих

−1

радиоэлектроники

сюръективно,

отображениеа

как нетрудно видетьБелорусский. Также

инъективно:

Докажем четвёртое свойство о равномощности различных смежных клас-

университет

сов по данной подгруппе. Отображение

ϕa : h → ah устанавливает взаимноы

од-

H и

aH. ДействительноВ

нозначное соответствие между классами смежности

, то тогда

a−1 (ah ) = a−1 (ah ),

Таким

если бы

ah = ah

= h .

следовательно,

образом,

ϕa −биективное,

т. е.

взаимно однозначноед

соответствие

между

смежными классами.

Пятое утверждение после доказанных свойств становится очевидным. Таким

образом, теорема полностью доказана.

Пример 2.5.1.государственныйПусть G

(Zи/ 2Z ) −множество всевозможных строк-

ш= M1×4

матриц с четырьмя координатами изкZ / 2Z . Это группа по сложению (см. при-

информатики

Легко проверить, что множество

мер 2.2.5). Обычно ее обозначают через V4 .

H =

,(1

(0 1 0 1),

образует

подгруппуи

0 1 1),

1 1 0)

Белорусский1442443 142443 142443 142443

университет

e e

радиоэлектроники

Gе

в группе

|G|=2 =16,

|Н|=4. Согласно теореме 2.5.1 группа

Очевидном

представляет собой объединение четырёх смежных классовгосударственныйпо подгруппешH.

Эти классы представлены в табл. 2.1.

информатики

Таблица 2.1. Смежные классы группы G по подгруппеВH.

Белорусскийa + e

№

Класс a+H

a + 0

a + e

a + (e + e )

университет

(0000)

(1011)

0 + H = H

(1110)

(0101)

радиоэлектроники

(1000)+H

(1000)

(0011)

(1101)

(0110)

(0100)+H

(0100)

(1111)

(1010)

е(1001)е

(0010)+H

(0010)

(1001)

(0111)

(1100)

Лемма 2.5.1.

Пусть

группы

Мощности

H −собственная подгруппаК

множеств всех левых и соответственно правых смежных классов группы

по подгруппе

H равны.

Доказательство.

Построим соответствие между названными множествами

по правилу

gH ↔ Hg.

Очевидно такое соответствие является взаимно одно-

значным, что и доказывает лемму.

Доказанное утверждение позволяетй

ввести следующее

Определение 2.5.2.

в группе

G называется

Индексом подгруппыи

мощность множествагосударственныйвсех смежныхш

классов группы G

по данной подгруппе

и обозначается черезинформатикиG : H

Пример 2.5.2.

Индексы

(nZ,+)

в группе (Z,+)

равен

n. Дей-

подгруппы

ствительно, в данном случае множество всех смежных классов есть множество

Белорусский

{nZ,1

+ nZ, 2

+ nZ, ... , (n а−1) + nZ}.

университет

Замечаниерадиоэлектроники. Таблицы смежных классов играют важную роль в теории и

государственныйш

кодирования. Простейший методинформатикикоррекциис

практике помехоустойчивогод

оши-

бок базируетсяе

на основе таблиц смежных классов, аналогичных приведеннойи

выше. В современныхт

цифровых каналах связи принято информацию переда-

вать

ав виде двоичных блоков с определенной фиксированной длиной

то есть

Белорусский

n -мерных векторов с координатами из

Z / 2Z. Ониуниверситетполучаются разбиением ис-

ходнойм

информации,

уже преобразованной в двоичныйрадиоэлектроникитекст, на блоки по

двоичных символов,

k < n.

К каждому k -мерному блокуд

присоединяется спе-

циальным образом n − k

проверочных разрядов. В результате предназначен-

государственныйш

k -мерному подпространству

ные для передачи слова принадлежат некоторому

информатики

H пространства Vn

всех

С точки зрения теории групп

-мерных векторов.

H −подгруппа аддитивной группы Vn .

Ее называют группой кодовых слов. В

радиоэлектроники

конкретного кодового слова

процессе передачи по каналуссвязи

может на-

Белорусский

университет

− некоторый n -мерный двоичный вектор

e V . Тогда при-

ложиться

«шум»

государственныйш

нятое по каналу связи словот-сообщение

x = h + e

является одним из элементов

таблицы смежных классов группы V , образующая смежного класса и есть на-

ложившийся в процессе передачи на

информатики

вектор ошибок

Если мы имеем в

группы

по подгруппе

своем распоряжениимтаблицу смежных классов

то по полученномуе

мы легко определяем вектор ошибок

(первый эле-к

радиоэлектроники

x )

Белорусский

мент строки,тсодержащей

и истинное сообщение

(первый элемент

университет

столбцаа , в который попадает

x ).

2.6. Теорема Лагранжа

К важнейшим в теории групп относится следующаяе

теоремае .

Теорема 2.6.1 (Лагранжа).

Порядок конечной группыт

делится на поря-

док любой ее подгруппы.

Доказательство.

Пусть

H −подгруппаКконечной группы

Пусть

= n,

= m. Согласно теореме 2.5.1 группа

G есть объединение непересе-

кающихся смежных классов (левых или правых) по подгруппе

каждый

мощностью

m .

Пусть имеется всего

различных классов. Тогда

n = km.

государственныйш

Следовательно,

делится

, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

информатики

В конечной группе индекс подгруппы равен частному от де-

ления порядка группы на порядок подгруппы.

Следствие 2. Любая группа простого порядка является циклической и не

радиоэлектроники

содержит собственных подгрупп.

Белорусский

государственныйш

Пример 2.6.1.

Всякая группа,

порядок которой равен одному из

сле-

университет

дующих чисел: 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011,и2017,

делит порядокд самой группы.

информатикис

- является циклической.

Следствие 3.

ЕслиаG – конечная группа из n элементов, то для каждого

a G

= e . Другими словами, в конечной группе порядок любого ее элемента

Теоремам

2.6.2.

В циклической группе

G для каждогорадиоэлектроникиделителя

m поряд-

Белорусский

теленК .

Тем не менее, для циклических групп ответ положителенуниверситет .

В связие

с теоремой Лагранжа возникает следующий вопрос: существуетили

m порядка

конечной группы

по-

для всякого делителят

подгруппа

рядкаа m?

В дальнейшем будет показано, что ответ на данный вопрос отрица-

ка

найдется подгруппа из

m элементов.

государственныйш

G =< b > для подходящего элемента

b G.

Доказательство. По условию

информатики

Это

означает,

что

n = G

натуральное

число,

для

которого

−наименьшее

= e. Пусть

= n : m

и c = b

Тогда подгруппа < c > имеет порядок

радиоэлектроники

самом деле,

)

= b

Если бы c

= e

для натурального

r < m,

с= b

= e.

Белорусский

университет

то тогда

= e

для натуральногоы

числа

kr < n,

что противоречит выбору

Таким образом,

<c >

В= m.

государственныйш

Теорема доказана.

информатики

м2.7. Нормальные подгруппы

радиоэлектроники

пишут

G. .

Белорусский

Определение 2.7.1.

Собственная подгруппа H группы G называется нор-

университет

мальной, если для всякого a

G a H = H a , то есть каждый левыйысмежный

класс по аподгруппе H совпадает с правым смежным классом. ВВэтомтслучае

Ясно, что у абелевых групп все подгруппы нормальные. Очевидно, всякая

подгруппа индекса 2 является нормальной.

Теорема 2.7.1.

G тогда и только тогда, когда для каждого a G

aHa−1 = H.

Доказательство. Пусть

для всякого a G a

H = H

a ,

то есть для каждо-

−1

го

h H существует такой

h1 H , что

Тогда h1 = aha

Следова-

ah = h1a.

тельно,

aHa−1 H.

С другой стороны,

h H существует такой

для каждого

элемент h H ,

что

ah = ha

или

h = ah a−1. Следовательно,

H aHa−1. Та-

матрицы

) = det(B) =1.

A GLгосударственный(R) det(ABA ш) = det(A) det(B) det(A

ким образом,

aHa−1

= H.

Обратное утверждение очевидно: если

aHa−1 = H, то

aH = Ha.

информатики

Пример 2.7.1.

Подгруппа

SLn

(R)

является нормальной подгруппой

группы GLn (R),

поскольку для всякойе

матрицы

B SLn (R)

и произвольной

−1

радиоэлектроники

государственныйш

Белорусский

для всякой матрицы

B, отличной от ска-

Известно, что в группе

GLn (R)

университет

> не является нормальной подгруппой.

лярной,

циклическая группа

< B

информатики

Упражнение 2.7.1.

Показать,

что циклическая группа

< B > для матрицы

GL2 (R).

B =

не принадлежит классу нормальных подгрупп группы

радиоэлектроники

Ω

- конечное множество из

Пустьа

элементовБелорусский. Поскольку природа его

университет

аф

2.8. Симметрическая группа

элементов для нас не существенна, удобно считать, что Ω ={1,2,K,n}. Всякая

биекция, то есть взаимно однозначное отображение Ω

в себя называется под-

становкой на Ω. Подстановку

: i → f (i) ,

i =1,2,K,еn,

удобное

изображать в

государственныйш

развернутой

форме

виде

двустрочной

таблицы:

наглядной

вает в какой элементинформатикиf (i) преобразуетсяс

элемент

1 ≤i ≤ n .

i -й столбец четко указы-

. В этойе

таблице каждый

f (1) f (2)

f (n)

радиоэлектроники

Белорусский

Пусть

f =

;

. Тогда

Примеруниверситет2.8.1.

g =

Подстановки перемножаютсяы и

в соответствии с общим правилом компози-

(gfВ)(i) =тg( f (i)).

государственныйш

ции отображений:

информатики

↓

2 3 4 1

4 3 2 1

радиоэлектроники

Белорусский1 4 3

университет

а2 3 4

1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓ =

1 2 3 4

fgК=

= f

Вычислим

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

Как

видим

4 3 2 1

3 2 1е4

gf ≠ fg ,

коммутатив-

то есть композиция подстановок не обладает свойствомт

1а

K n

ности.

Очевидно,

тождественная подстановкаКe =

играет роль

1 2 K n

единицы относительно композиции подстановок. Как известно, композиция

отображений является ассоциативной операцией, поэтому и композиция под-

государственныйш

становок ассоциативна. Каждая подстановка – обратимая операция. Чтобы най-

ти для подстановки

−1

достаточно

в таблице

обратную подстановку

дочить по возрастаниюинформатикиэлементовс

первой строки.

а затем столбцы упоря-

f (1)

(2)

(n)

радиоэлектроники1 2

государственныйш

Белорусский

университет

Пример 2.8.2.

Для подстановки

найдем обратнуюи

под-

информатики

2 а3 4 1

1 2 3 4

становку

−1

. f

−1

Чтобы убедиться в пра-

радиоэлектроники

ции подстановокм

Белорусский

вильности, найдем их композицию:

Ω

образуют группууниверситетс операцией компози-

КТаким образом, подстановки на

1 2 3 4

−1 f

=ф

2 3 4 1

= e .

4 1 2 3

1 2 3 4

Определение 2.8.1. Симметрической группой степенид

называют груп-

пу подстановок на

n элементах относительно операциие

умножения подста-

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие)

#
15.06.20142.76 Mб85lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk.pdf
#
15.06.2014699.64 Кб82Пособ_ЗИ.pdf
#
15.06.2014804.21 Кб83Пособ_поточ.pdf
#
15.06.2014970.81 Кб110Пособ_ТК.pdf
#
15.06.2014930.94 Кб222Прикладная_математика_и_теория_норм_синдромов_Мет_пос.pdf
#
15.06.2014716.14 Кб126Словарь терминов по информационной безопасности.pdf