Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория кодирования

Файл:

Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие) / lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

государственныйш

информатики

Министерствоеобразования Республики Беларусь

Учреждение образования

радиоэлектроники

Белорусский

«Белорусский государственный университет

университет

информатики и радиоэлектроники»

государственныйш

Кафедра высшей математики

информатики

радиоэлектроники

Белорусский

В.А. Липницкий

университет

СОВРЕМЕННАЯ ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРАм .

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫе

ИНФОРМАЦИИ

ф т

ОТ ПОМЕХ И НЕСАНКЦИОНИРОВАННОГО ДОСТУПА

Учебное пособие

государственныйш

по курсу «Высшая математика»

для студентов специальностей «Системы, сети и устройства

информатики

» и «Информатика»

телекоммуникацийй

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

университет

информатики

радиоэлектроники

университет

Минск 2005

Л 61

государственныйш

информатики

УДК 512

(075.8)

ББК 22.144 я 73

радиоэлектроники

Белорусский

университет

государственныйш

Рецензент:

информатики

профессор кафедры информатики БГУИР,

доктор физико-математических наук Л.И. Минченко

радиоэлектроники

Л 61

Белорусский

университет

Липницкий В.А.

Современная прикладная алгебра. Математические основы

защиты информации от помех и несанкционированного доступа:

Учеб. пособие по курсу «Высшая математикае »/ В.А. Липницкий.

Мн.: БГУИР, 2005. -

88 с.: ил.

ISBN 985-444-789-8

Учебное пособие является первым в Республике Беларусь изданием по

алгебраическим основам теории и практиким

помехоустойчивого кодирования,

формирования и обработки дискретных сигналов, защиты информации от

несанкционированного доступа. Изложены основы теории чисел, теории групп,

государственныйш

ББК 22.144.2 я 73

теории колец и полей. Структура и подача материала подчинены главной цели –

полному, строгомуии по возможности краткому изложению теории полей Галуа –

информатики

одного из основных инструментов построения и обработки кодов и сигналов,

многих современных криптосистем.

радиоэлектроники

УДК 512 (075.8)

Белорусский

государственныйш

университет

©информатикиЛипницкийсВ.А., 2005

радиоэлектроники

Белорусский

ISBNе985-444е-789-8

университет

государственныйш

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

информатики

1.1. Алгебраические операции на множестве целых чисел

1) ассоциативностьрадиоэлектроники: a +(b +c) =(a +b) +c ;

a (b c) = a (b c) ;

Белорусский

вами (дляуниверситетлюбых

a,b,c Z ):

состоит из элементов 0;±1;±2;…;±n,… . Это

Множество целых чисел Z

a b = b a ;

государственныйш

коммутативностьд

b + a = a +b ;

счетное множество. На нем определены две алгебраические операции

сложение

умножение. Операции обладают

следующими

общими

свойсти

существует нейтральный элемент - 0 и 1 соответственноинформатики: с

радиоэлектроники

Белорусский

а+b = b + a =университет0 .

ное, то есть такое целое

что

aф+0

=0 + a

= a; a

1 =1 a

= a .

Кромеа

того, операция сложения обладает свойством:

каждого

целого

a Z

существует

для

единственное противополож-

Ясно,

что

здесь b = −a . Это

свойство

позволяет ввестимвспомогатель-

ную

операцию

вычитание

( a −b = a +(−b)

= с

чи-

- целое число – разность

сел

получаемое вычитанием

b из a ).

Умножение и сложение связаны свойством

(a +b) c = a c +b c

− закон дистрибутивностиК

Наличие операций сложения и умножениямс отмеченными свойствами

на множестве целых чисел позволяют отнести Z к разряду коммутативных

колец с единицей.

рациональное и в редких

случаях явля-

a на

целое

числогосударственныйb ≠ 0 естьшчислок

Аналог

свойства 4

для

умножения выполняется

лишь

для

двух

целых

чисел

–1. Вообще

каждого

целого

a Z существует

обрат-

говоря, для

ное (то есть

информатики

что aйb

=1), но

оно

является

рациональным,

такое

число

не целым

результати

операции

деления целого

числа

числом. Следовательно,

радиоэлектроники

Белорусский

ется целым. В общем же случае имеет место

государственныйш

университет

Теорема 1.1.1 (о деленииы

с остатком).

Для любых целых чисел

и b,

стным при rд≠ 0 ) от деления

на

b. Читатель со школьнойинформатикискамьисумеет

b ≠ 0 ,

существует

единственныеВ

целые числа

и r,

0 ≤ r < b , такие, что

a =b q + r .

называют остатком,

В этом равенстве

частным (неполным ча-

б)

a = −17, b = −5; тогда q = 4, r =3.

радиоэлектроники

Белорусский

университет

находить частное и остаток методом деления уголком.

Примерф т1.1.1. а) a = −20, b =3; тогда q = −7, r =1;

Если в теореме 1.1.1 число

r = 0,

то есть

a =b q ,

де-

то говорят, что

лится на

и на

(и пишут: aMb,

aMq ), что

является кратным чисел

Важной длягосударственныйизложения дальнейшегош

материала является следующая

Лемма 1.1.1.

+ a2

+K+ an =b1 +b2 +K+bm

все слагае-

информатикиЕсли в равенстве

q, что

b и

делят

й a

;

а также называют

де-

(и пишут: b

лителями или множителями числа

радиоэлектроники

ЗамечаниеБелорусский. Кажется естественной десятичная форма записи целых чисел.

университет

мые - целые числа и все,

ыкроме может быть одного, делятся на целое d, то и

системе счисления. Для перехода к ней с десятичной системыгосударственныйсчисленияшис-

это исключенное слагаемоеВ

делится на d.

информатики

В различных ситуациях более удобными являются другие основания. К приме-

ру,

во всех

на микроуровне вычисления проводятся в двоичной

компьютерахм

радиоэлектроники

Белорусский

пользуют промежуточную – 16-ричную систему счисления. Последняя широко

университет

AES.

применяется, в частности, в новом американском стандарте шифрованияы

1.2. Наибольший общий делитель целых чисел.

Алгоритм Евклида

Определение 1.2.1.

Если целые числа

a1,a2 ,K,an

делятся на целое число

то

d называют их общим делителем.

В дальнейшем речь идет только о положительныхК

целых делителях.

Определение

1.2.2.

Максимальный

из

делителей целых

чисел

общих

a1,a2 ,K,an

называется их наибольшим общим делителем

и обозначается че-

рез

НОД(a1 ,a2 ,K,an )

или

(если

это

не

вызывает разночтений)

через

(a1,a2 ,K,an ).

государственныйш

следует, что и

Таким образом,

d −общий делитель чисел

информатикиc делитсясна

Теорема 1.2.1. Если

то

НОД(a,b) = НОД(b,c).

a =b q +c ,

Доказательство

леммы

1.1.1.

Пусть

получается

помощью

d = НОД(a,b)

k = НОД(d,c).

В силу леммы 1.1.1

из делимости

на

лет тому радиоэлектроникиназад) обосновать следующий факт (который являетсягосударственный, по сути

шдела,

Белорусский

b и

Этоуниверситетнаблюдение

(теорема 1.2.1)

позволило

Евклиду

(примерно

2 300

Следовательно,

делитсяи

на

Но из равенства

=bq +c

следует,

что

делится на

k. Тогдати

делится

Так как

d и

k являются нату-

кратным применениемд

теоремы 1.2.1).

информатикис

ральными, то отсюда следует, что d = k.

Теорема доказана.

равенапоследнемуф

БелорусскийцепочкиуниверситетрадиоэлектроникиравенствВ:

отличному от нуля остатку

Теорема 1.2.2. Наибольший общий делитель целых чисел a и b (aи>b)

a =b q1

+ r1 ;

b =b q2

+ r2 ;

…………………

rn−2 = rn−1 qn + rn ;

1.2.1.

государственныйш

информатики

rn−1 = rn qn+1 ;

т. е.

rn = НОД(a,b) .

Доказательство

n −кратным

применением

теоремы

осуществляется

радиоэлектроники

предоставляет алгоритм

Теорема

1.2.2 непосредственнок

нахождения

Белорусский

наибольшего общего делителя целых чисел, называемый алгоритмом Евклида.

университет

НОД(72, 26).

Пример 1.2.1. С помощью алгоритма Евклида найти

Решение. В соответствии с теоремой 1.2.2

государственныйш

72 = 26 2 + 20 ;

= 20и1+

6 ;

20 = 6 3 + 2 ;

6 = 2 3 .

Следовательно,

НОД(72, 26) = 2.

информатики

преобразуется

в алгоритм нахождения наи-

Алгоритм Евклида легко

большего общегод

делителя не только двух, но и большего количества целых

Полученное равенство называют соотношениемрадиоэлектроникиБезу для наибольшего

чисел. Алгоритме

Евклида

остается

классе

самых быстрых

алгоритмов

Белорусский

v, чтом

выполняется следующее соотношение

d =университетau +bv .

примене-

нахождениятнаибольшего общего делителя целых

чисел. Обратное

ниеацепочки равенств алгоритма Евклида доказывает следующий факт.

КТеорема 1.2.3. Если

d = НОД(a,b),

то существуют такие целые

общего делителя целых чисел

и b.

Пример 1.2.2. Из примера 1.2.1 следует, что

(

)

2 = 20 + 6

(

−3

)

= 20

(

26 +

(

))

ф)

−3

−1

−3

= 20т4 + 26

(

))

(

)

(

)

= (72 +

−2

)

+ 26

−3

= 72 4 +а26

−11 .

1.3. Простые числа

Теорема 1.3.1государственный. Всякое натуральноек

число

n >1

либо

является

про-

число

p >1

называется

простым,

Определение 1.3.1. Натуральное

информатики

если оно делится только на

и на себя.

Очевидно, справедлива

радиоэлектроники

Белорусский

стым числом, либо имеет простой делитель.

государственныйш

университет

из

соотношенияы

n = p q

Заметим, что

натуральных

чисел, больших

информатики

единицы, следует, что, либо p, либо q принадлежит

отрезку

. Лег-

p >1

натурального числа

ко видеть, наименьший натуральный делитель

n >1

является простым числомм

. Исторически

первый

метод

проверки

натурально-к

радиоэлектроники

простоту

заключается

делении

го числа n

на

его на простые числа,

университет

не превосходящие

n . Данный метод носит название

«решета

Эратосфена»

Эратосфена» решает более общую за-

(III в. до н.э.). Вообще говоря, «решето

дачуК составления списка всех простых чисел на отрезке натуральногоаряда

1, 2, ... , n.

(1.1)

Суть метода. Начиная с 4, вычеркиваем в (1.1) все четныед

числа; затем, на-

чиная с 9, вычеркиваем все числа, кратные трем; затеме, начиная с 25, все числа,

государственныйш

информатики

p, такого, что

p >

кратные 5, и так далее до наименьшего простого числа

Кратные числу

p из множества (1.1) уже вычеркнуты. Оставшиеся не зачерк-

нутыми в последовательности (1.1) числа будут представлять список всех про-

Теоремарадиоэлектроники1.3.2 (Евклид,

Простых

чисел

бесконечно мное-

III в. до н.э.).

стых чисел отрезка

[1,

n].

Белорусский

распознаванияуниверситетпростоты натурального числа [6, 22].

К настоящему времени разработани

достаточно большой цикл алгоритмов

го.

государственныйш

проверки числа на простоту. Лишь в августе 2002 г. группа индийских матема-

тиков конструктивно установила существование полиномиального алгоритма

информатики

радиоэлектроники

Доказательство методом от противного. Предположим, что натуральныйс

1 2

Белорусский

ряд

фсодержитт

лишь

конечное

университет

чисели

множество

простых

p = 2, p

=3,....

Составим

их помощью

p , p ,..., p ,

натуральное

число

аn

P =

... p

+1. Согласно теореме 1.3.1,

либо

p p

P −простое, либо содержит

простой делитель. Но

P не может быть простым, так как не совпадает ни с од-

ним

из

чисел

p1, p2 ,..., pn. Пусть

q −простой

числам

Тогда

делитель

P = qs = p p ... p

+1.

Число

не

совпадает

одним

из

чисел

ни

p , p ,..., p .

Иначе 1 делится на соответствующее

в соответствии с леммой

1.1.1, что невозможно. Получено противоречие сапредположением, что доказы-

вает теорему.

Замечание. При доказательстве данной теоремым

вместо числа

можно

было взять

P′ = p1 p2 ... pn

−1

или

P′′ = p1 p2 ... pk

+ pk +1 pk +2 ... pt ,

возможны

и иные варианты.

2k,

Теорема 1.3.3государственный(Чебышевш, 1852). Между натуральными числами k

Значение

простых чисел

заключается в том, что

они

по теореме 1.3.1

являются

составными кирпичиками всех натуральных чисел. Распределение

информатики

простых чисел

среди

чисел натуральногой

ряда достаточно непредсказуемо, о

чем свидетельствуют следующие две теоремыи

радиоэлектроники

Белорусский

k >1, обязательно найдутся простые.

государственныйш

университет

Теорема 1.3.4. Дляывсякого

натурального

существует

отрезок

Несмотряд

на

теорему

1.3.4, количество

π(x)

всех простыхинформатикичиселс, мень-

k, k + n]

натурального ряда, все числа которого составные.

Доказательство. В самома

деле, все следующие числа составные:

(n+2)!+2; (n+2)!+3;…;(n+2)!+(n+2). (Здесь k!=1 2 3 ... k).

радиоэлектроники

Теорема 1.3.5 (Адамар, Валле-Пуссен, 1896). университетπ(x) ≈

ших

в каче-

подчинено достаточно равномерному закону, высказанномуы

стве гипотезы 15-летним Гауссом.

Любопытным фактом является

ln x

государственныйш

информатики

+ 1

+ 1 +K из обратных простых

Теорема 1.3.6 (Эйлер, 1737).

Ряд

чисел – расходящийся.

что сумма

ряда

радиоэлектроники

Замечание. Теорема 1.3.6 утверждаетк

равна ∞ . Доказа-

Белорусский

тельство этой теоремы проводится с помощью аналитических средств – теории

университет

рядов и бесконечных произведений, его можно найти в [1, 21] – учебных посо-

∑

государственныйш

биях Сушкевича А.К., а также Айерленда К. и Роузена М. Из этого доказатель-

ства следует другое доказательствоа

информатики

бесконечности множества простых чисел.

Частичные суммы ряда обратных простых чисел оцениваются следующей фор-

мулой

д= ln(ln n)

+ c +O(1/(ln n))

для некоторой константы

Частичная

p≤еn p

радиоэлектроники

Белорусский

−1,

ваемых чисел Мерсенна (имеющих вид

гдеуниверситетp −простое). Проверка чи-

сумма пофвсемтизвестным простым числам (примерно 50 млн. [5]), меньше

и4.

Отметим, что на конец ΧΧ века наибольшим известным простым числом

было число 2

6972593

−1, открытое

в 1999 г. Оно принадлежит классу так назы-

сел Мерсенна на простоту производится гораздо проще (алгоритмм

Люка,

см.,

например, [16]), чем произвольных натуральных чисел. Поэтому они и попада-

ют в категорию рекордных.

Обобщением теоремы 1.3.2 является

Теорема

1.3.7 (Дирихле,

1837).

арифметическаяа

прогрессия

Всякая

{а + b n},

где НОД(а,b) =1,

содержит бесконечно много простых чисел.

Доказательство требует мощных аналитических средств ( [1,19]) а с точки

зрения временных затрат – отдельного спецкурса.

государственныйш

К сожалению, больше в теории чисел аналогичных результатов нет. По-

пытки найти их составляют целые направления в теории чисел. Сформулируем

ний день (начало 2005информатикиг.) известнос

29 простых чисел Мерсенна.

несколько гипотез и открытых проблемй

(ОП) теории чисел в данном направле-

нии.

ОП1. Бесконечно ли множество простых чисел Мерсенна? На сегодняш-

F =

радиоэлектроники

что все

257,БелорусскийF = 65537

− простые числа, и высказал предположение,

университет

многои

государственныйш

ОП2.

Бесконечно ли

простых

чисел

Ферма,

то есть

чисел

F =

+1,

m = 0,1,2,В... ?

тЕще Ферма показал,

что

F =3,

F =5,

F =17,

информатики

числа

Fn −простые. Лишь в 1732 г. Эйлер заметил, что F5 −составное число.

ОПм

4 (Проблема Эйлера). Бесконечно ли многорадиоэлектроникипростых чисел – значений

ОП3.

Бесконечно ли много простых чисел-близнецов, то есть пар простыхс

Белорусский

и5 и

нечностиК

пар чисел-близнецов ряд из обратных к нимуниверситет– сходящийся [21].

чисел видае p, p +

Примерами чисел-близнецов являются

пары чисел

41 и 43,

59 и 61,

7, 17 и 19, 29ти 31,

71 и 73, 101 и 103, 107 и 109, 1997

и 1999

и такадалее. Отметим, что в 1919 году Брун доказал, что даже в случае беско-

полинома

+ x + 41? Эйлер заметил, что при

x = 0,1,..., 39

полином дает про-

государственныйш

информатики

стые числа. Однако уже

f (40) =

412.

Следующее утверждение снимает про-

блему поиска полиномов, принимающих только простые значения.

Теорема 1.3.8. Никакая целая рациональная функция от x

с целыми ко-

Определениерадиоэлектроники1.4.1. Целые числа a и b называются взаимно простые-

эффициентами для всякого натуральногок

не будет равняться простому

Белорусский

числу.

университет

государственныйш

ми,

если

НОДд

(a,b) =1.

1.4. Критерий взаимной простоты целых чисел

Это

имеющие

общих

простых делителейинформатики. Развитиемс

целые числа,

не

Доказательство. Необходимость утверждения, торадиоэлектроникиесть существование тре-

Белорусский

и v,

что выполняется равенство

a u +университетb v =1.

целыемu

теоремыф1.2.3

является следующая

Теорема 1.4.1 (критерий взаимной простоты целых чисел). Целые числа

a и

b взаимно просты тогда и

только

тогда, когда

существуют

такие

буемых целых чисел

доказана теоремой 1.2.3. Докажемд

достаточность

утверждения методом от противного. Пусть выполняетсяе

равенство целых чи-

сел

a u +b v =1. Если

числа

d >1,

то в си-

и b имеют общий делительт

лу леммы 1.1.1 число

должно делиться на

d ,

что невозможно. Таким обра-

зом, предположение о существовании у чисел

и b общего делителя

d >1

следует отбросить. Следовательно, НОД(a,b) =1,мчто и требовалось доказать.

Следствие. НОД(ac,b) =1

тогда и только тогда, когда

НОД(a,b) =1,

НОД(c,b) =1.

государственныйш

ло

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

с и

НОД(a,cинформатики) =1. Тогдас

делится на

с.

Важным в теории чисел и ее приложениях является следующее свойство

взаимно простых чисел.

целых

чисел ab

делится

на целое чис-

Лемма 1.4.1. Пусть произведение

и правая частьрадиоэлектроникиравенства – число

b делится на

c. Лемма доказанагосударственный.

Белорусский

Левая частьуниверситетэтого равенства делится на c. Следовательно, в силу леммы 1.1.1,

Доказательство. Согласно критериюи

взаимной простоты целых чисел (тео-

рема 1.4.1) имеет место равенствот

au + cv =1

для подходящих целых чисел

информатики

v. Умножим это равенство на число

b. Получим равенство

abu +bcv = b.

радиоэлектроники

Такоеаназвание в теории чисел носит следующееБелорусскийутверждение.

университет

аф

1.5. Основная теорема арифметики

Теорема 1.5.1. Всякое целое

число

n >1

однозначно раскладывается

произведение простых множителей:

n = p1

p2 K

ps .

n либо являетсягосударственныйпростым (и тогдаш ктеорема доказана), либо делится на некото-

утверждение теоремы проверяет-

Доказательство. Для малых значений n

информатики

n >

ся непосредственно. Пусть

и предположим, что утверждение теоремы

верно для всех натуральных чисел, меньшихи

Согласно теореме 1.3.1 число

радиоэлектроники

произведениеБелорусскийпростых множителейа

для натурального m <n.

рое простое число

По предполо-

Тогда

= pm

университет

раскладывается в произведение простых. Таким

жению индукции число

ведение простыхемножителей:

государственныйш

образом,

доказано существование разложения всякого натурального числа в

информатики

Единственность разложения доказывается методом от противного. Пред-

число

имеет два различных разложения в произ-

положим, что натуральноем

делящийся на q , то естьрадиоэлектроникинайдем p = q .

некоторый множитель

p ,

Сокра-

= p1 p2 ... ps

= q1q2 ... qt .

Белорусский

(1.2)

2 3

университет

Предположим, что t ≤ s.

В силу леммы 1.1.1 левая часть этого равенства

делится на

q .

Если

НОД( p ,q ) =1,

то согласно лемме 1.4.1

произведение

p p м... p

делится на

q .

Рассуждая и далее аналогичным образома

, найдем

k 1

тим равенство (1.2)

на этот общий множитель.

рассуждаем с

Аналогичнод

q2 , q3 ,...,qt .

В конце концов придем к соотношению

... ps−t

=1,

(1.3)

где

, 1

≤ i ≤ s −t,

−не сократившиеся простыеК

множители левой части равен-

ства

(1.2). Но единица не может делиться ни на одном

из простых чисел. Следо-

вательно,

s = t,

и на самом деле равенство (1.3) имеет вид

1=1. Это и означает

единственность разложения в произведение простых множителей с точностью

государственныйш

до порядка следования этих множителей. Теорема доказана.

Если в равенстве

n =

K ps . собрать

одинаковые

множители,

то

информатики

получим следующее каноническое разложение целого числа:

n =

r1и

Kpt

радиоэлектроники

Пример 1.5.1.

Приведем примеры канонических разложений целых чисел:

Белорусский

государственныйш

университет

a) 196 = 2 98 = 2 2и49 = 22 72;

b) 212-1 = 4095 = 32 5 7 13.

По каноническому разложению целых чисел легко находится их наи-

числа: σ(n)

д= (( p1

−1) /( p1 −1)) ... (( pt

−1) /( pt

−1))

деталиинформатикисм. в книге [1].

больший

общий

делитель,

наименьшее общее кратное, решаются иные за-

дачи.

Например,

можно указать общую формулу всех натуральных делителейе

числа n, найти их количество, найти сумму

σ(n) всех натуральных делителей

радиоэлектроники

жителей.аПоиск эффективного метода факторизацииБелорусскийцелых чисел оказался

rt +1

r1+1

университет

Следует отметить, что теорема 1.5.1 – это теорема существованияы. Она не

дает метода факторизации натурального числа в произведение простыхВ тсомно-

сложной алгоритмической проблемой, причем более сложной, чем распознава-

мимеющихся ал-

ние простоты натурального числа. [1, 6, 10, 16, 22]. Ни один из

n .

горитмов не является полиномиальным относительно

Безуспешные и на-

стойчивые поиски такого алгоритма приводят к убеждению, что задача факто-

государственныйш

ризации целых чисел имеет экспоненциальную сложность. Данное обстоятель-

информатики

(см. [10, 16]).

ство, в частности, обеспечивает стойкость криптосистемы RSA

1.6. Сравнения

a =bрадиоэлектроники+ mq для некоторого целого

Белорусский

Теорема 1.6.1.

Пусть

− натуральное число, m >1. Для любых целых

университет

чисел

следующие условия равносильны:

государственныйш

имеют одинаковые остатки от деления на

дует условие 2): если

a = mq + r,

b = mq + r,

то

a −b = m(qинформатики−q ), что озна-

a −b

делится на

mа, то есть

a −b = mq

для подходящего целого

Доказательствод

проводится по схеме: 1) 2) 3) 1). Из условия 1) сле-

радиоэлектроники

a =b + mq получаем:

a =b + ms = mq + r + ms = m(qБелорусский+ s) + r. Теорема доказана.

университет

a −b

на m. Из условия 2) очевидным образом следуеты

усло-

чает делимость

b = ms + r,

тоВиз равенстват

вие 3). Докажем, что из условия 3) следует 1). Если

Определение 1.6.1.

Целые числа а и b

называются сравнимыми по мо-

дулю m, если они удовлетворяют одному из

Этот

условий теоремы 1. 6.1.

факт обозначают формулой

a ≡b(mod m)

или

и называют ее

a ≡b(mе)

сравнением.

Пример 1.6.1.

4) ≡3(mod 4).

-5 ≡7(mod 4) ≡11(mod 4)

≡23(modа

Перечислим основные свойства сравнений.

Свойство 1.

Пусть

a ≡b(mod m).

Тогда (a±c) ≡(b±c)(mod m)

для вся-

кого целого

c, то есть

к обеим частям сравнения можно добавить (или вы-

государственныйш

честь из обеих частей) одно и то же число.

информатики

Доказательство.

a ≡b(mod m)

тогда и только тогда, когда

a −b = mq

для

подходящего целого

Следовательное

(a +c) −(b +c) = mq,

то есть

(a +c)

и (b + c)

сравнимы друг с другом по модулю

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

Свойство 2. Сравнения можно почленно складывать и вычитать:

если

университет

a ≡b(mod m) ,

≡ d(mod m),

то

(a +c) ≡(b + d)(modи

m);

информатики

(a −c) ≡ (b −d)(mod m).

Доказательство аналогично предыдущему: если

a −b = mq ;

c − d = mt,

c = d м+ mw для подходящих целых

w. Тогда

acрадиоэлектроники=bd + m(qd +bw + mqw).

то (a

+c)

−(b

+ d) =

мm(q +t).

Следовательно,

+c) ≡ (b + d)(mod m).

Белорусский

университеттеоремы 1.6.1

a =b + mq,

Доказательство. Cогласно третьему условию

Свойство 3.

Сравнения можно почленно перемножать: если

a ы≡b(modиm),

c ≡ d(modфm),

то ac ≡bd(mod m).

Согласно тому же третьему условию это означает,

ac ≡bd(mod m).

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методы по алгебре Липницкий, БГУИР (Мет пособие)

#
15.06.20142.76 Mб85lipnickiy_v_a_sovremennaya_prikladnaya_algebra_matematichesk.pdf
#
15.06.2014699.64 Кб82Пособ_ЗИ.pdf
#
15.06.2014804.21 Кб83Пособ_поточ.pdf
#
15.06.2014970.81 Кб110Пособ_ТК.pdf
#
15.06.2014930.94 Кб222Прикладная_математика_и_теория_норм_синдромов_Мет_пос.pdf
#
15.06.2014716.14 Кб126Словарь терминов по информационной безопасности.pdf