мощную (при n 2) подгруппу SLn (Z)

с целыми коэффициентами.

§3.3. Циклические подгруппы

Теорема 1.3.2. Пусть а – фиксированный элемент произвольной группы G.

Пусть a {a0 e,a,a2,...,a 1,a 2,...} –

множество всевозможных сте-

пеней элемента а. Тогда a подгруппа группы G , причем абелева.

Доказательство следует

из

критерия

подгруппы:

для

произвольных

ak , al a произведение ak

a l

ak l

принадлежит множеству a .

Определение 1.3.8. Подгруппа a из теоремы 1.3.2 называется цикличе-

ской подгруппой группы G,

порожденной элементом а. Если в группе G най-

дется такой элемент b,

что G b , то такую группу называют циклической.

При этом элемент b называют примитивным, или образующим элементом

группы.

Пример 1.3.12.

Следующие

группы

являются

циклическими:

а)(Z, ) 1 ; б) (Z /nZ, )

; в) Cn ei2 /n .

1

Теорема 1.3.3. Пусть элемент a G обладает свойствами an

e для неко-

торого целого n, и ak e

для всех целых

k,

1 k n.

Тогда циклическая

подгруппа a имеет порядок n и a {a,a2,...,an e}.

Доказательство. Заметим, что для целых

k,

1 k n,

(ak ) 1

an k.

Определение 1.3.9. Величина n из теоремы 1.3.3 называется порядком эле-

мента a G. Если же для элемента a G

такого n не существует, то говорят,

что элемент имеет бесконечный порядок.

Пример 1.3.13. Любое ненулевое целое число имеет бесконечный порядок

в аддитивной группе целых чисел. В примере 1.3.12 элементы

и ei2 /n

име-

1

ют одинаковый порядок n.

Пример 1.3.14. Возьмем матрицу A 1

1

GL (R). Здесь

A2 1

2 ;

2

1

3

0

1

0

1

3

A попарно различны и образуют бесконечную

A

. Степени матрицы

0

1

последовательность. Определитель матрицы A равен 1 0. Следовательно, мат-

рица A

обратима: A

1

1 1

2

1 2

1

, A

1

,… . Таким образом, цикли-

0

0

ческая подгруппа, порожденная матрицей A в группе GL2(R), является беско-

нечной.

0

1

1

0

Матрица H GL2

H

2

(R) вида H

1 0

имеет степени

;

0

1