Содержание

3

Введение

Переход человечества в конце ХХ в. в информационную эпоху ознаменовался такими явлениями, как всеобщая компьютеризация, всесторонняя экспансия микро- и нанотехнологий, цифровых телекоммуникационных и инфокоммуникационных систем. Научной базой новых технологий явилась также и иная математика, новая, использующая широкий спектр идей и методов комбинаторики, дискретной математики, математической логики, современной алгебры и геометрии, особенно в аспектах, связанных с так называемой «конечной математикой». Конечно же, знание основ этой математики необходимо современным инженерам, занятым обслуживанием и/или разработкой современных аппаратных информационных или телекоммуникационных средств.

Решению названных задач посвящены новые курсы «Прикладная математика. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа» и «Теория норм синдромов». Данное методическое пособие предназначено для студентов заочной и дистанционной форм обучения для самостоятельного освоения и изучения названных курсов.

Предлагаемое издание знакомит с методами и алгоритмами вычислений в кольцах классов вычетов. На этих алгоритмах строятся системы цифровой обработки сигналов, современные криптографические системы защиты информации от несанкционированного доступа. Учебные модели таких криптосистем можно изучить с помощью данного пособия. Также студенты знакомятся с методами формирования конечных полей (полей Галуа) и вычислений в них. На основе алгоритмов вычислений в полях Галуа функционируют устройства защиты информации от помех в современных телекоммуникационных системах. Студенты на практике осваивают математические алгоритмы работы названных устройств, в частности, моделей действующих систем сотовой связи.

Теория норм синдромов является новейшим результатом белорусской школы кодировщиков XXI в. Для ее освоения требуется четкое владение техникой вычислений в полях Галуа. Предложенный в пособии спектр задач позволяет усвоить основы теории норм синдромов и применять полученные знания на практике.

Каждая из двух частей пособия, соответствующая двум перечисленным курсам, завершается контрольной работой для студентов.

4

Часть I. Прикладная математика. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа

Глава 1. Основы теории чисел

Теорема 1.1.1 (теорема о делении с остатком). Для любых целых чисел a и b 0 существуют единственные целые числа q и r, 0 r b , такие,

что выполняется равенство: a b q r .

Пример 1.1.1. а) пусть a 20, b 3; тогда q 7, r 1; б) пусть a 17, b 5; тогда q 4, r 3.

Определение 1.1.1. Если целые числа a1,a2, ,an делятся на целое число d, то d называют их общим делителем. Максимальный из общих делителей целых чисел a1,a2, ,an называется их наибольшим общим делителем и обозначается как НОД(a1,a2,...,an).

Теорема 1.1.2. Если a b q c, то НОД(a,b) НОД(b,c).

Теорема 1.1.2 позволила Евклиду (примерно 2300 лет тому назад) обосновать следующий факт.

Теорема 1.1.3. Наибольший общий делитель целых чисел a и b совпадает с последним, отличным от нуля, остатком следующей цепочки равенств, получаемых последовательным применением теоремы о делении с остатком:

Теорема 1.1.3 предоставляет алгоритм нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, называемый алгоритмом Евклида. Он легко преобразуется в алгоритм нахождения наибольшего общего делителя трех и более целых чисел. Следует отметить, что алгоритм Евклида до наших дней остается самым быстрым алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя целых чисел.

Пример 1.1.2. Найти с помощью алгоритма Евклида

Решение. 72 26 2 20; 26 20 1 6; 20 6 3 2; 6 2 3. Следователь-

но, НОД(72, 26) 2.

Обратным применением цепочки равенств алгоритма Евклида доказывается

Теорема 1.1.4. Если d НОД(a,b), то существуют такие целые u и v, что выполняется следующее соотношение (Безу): d a u b v.

Пример 1.1.3. Цепочка равенств алгоритма Евклида из решения примера 2 позволяет построить соотношение Безу для НОД(72, 26) 2.

5

2 20 6 3 20 26 20 1 3 20 4 26 3 (72 26 2 ) 4 26 3 72 4 26 11.

Определение 1.1.2. Целые числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель НОД(a,b) 1.

Критерий взаимной простоты чисел. Целые числа a и b взаимно про-

сты тогда и только тогда, когда существуют такие целые u и v, что a u b v 1.

Определение 1.1.3. Натуральное число p 1 называется простым, если его положительными делителями являются только 1 и само число p.

Простые числа обладают многими интересными свойствами. Очевидно, всякое натуральное число n 1 либо является простым числом, либо имеет простой делитель. Из школьного курса математики мы знаем, что простых чисел бесконечно много.

Заметим, что из соотношения n p q натуральных чисел следует, что ли-

бо сомножитель p, либо число q принадлежит отрезку 1; n . Другими словами, если есть предположение, что исследуемое число n составное, но делители его не известны, то найти их можно на указанном отрезке. На этом заключении и базируется «решето Эратосфена» – исторически первый метод проверки натурального числа n 1 на простоту: он заключается в последовательном делении числа n на простые числа, не превосходящие n , если ни на одно из простых чисел отрезка 1; n рассматриваемое число не делится, то n – простое число.

Главное назначение простых чисел в том, чтобы быть составными «кирпичиками» всех натуральных чисел. Об этом свидетельствует

Основная теорема арифметики. Всякое целое число n 1 однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей раскладывается в произведение простых чисел n p1 p2 ... ps.

Если в разложении произвольного натурального числа n в произведение простых множителей собрать в одну степень одинаковые множители, то полу-

чим равенство n p1r1 p2r2 ptrt . Его называют каноническим разложением целого числа n.

Пример 1.1.4.

а) 196 2 98 2 2 49 22 72 ; б) 212 1 4095 32 5 7 13.

Каноническое разложение числа дает практически полную характеристику этого числа, определяет все его базовые свойства. По каноническому разложению целых чисел легко находится их наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, решаются иные задачи.

Следует, однако, отметить, что факторизация, т. е. разложение целого числа в произведение простых – алгоритмически трудная задача, особенно для больших чисел, не решенная удовлетворительно и до сегодняшнего дня, несмотря на значительные усилия многих поколений математиков. На сложности задачи

6