II. Задача Коши для уравнения первого порядка.

Задача Коши - это задача на нахождение какого-то определенного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, называемомуначальным. Геометрически - нахождения некоторой кривой, проходящей через определенную точку.

Положим, в некоторой точке x₀ y, удовлетворяющее уравнению F(x,y,y')=0 равно y₀. Тогда решение задачи Коши - это решение относительно C алгебраического уравнения y₀=y(x₀, C), где y(x,C) - общее решение уравнения.

III. Уравнения, допускающие понижение порядка (сводящиеся к уравнениям первого порядка).

1. Уравнения вида F(x, y', y'')=0.

Уравнение сводится к уравнению первого порядка заменой u=y'. Получим в результате уравнение вида F(x,u,u')=0.

После, получив решение u=u(x), интегрируем его по х.

2. Уравнения вида F(y, y', y'')=0

Понижение порядка получим следующим образом:

Пусть y'=p(y), тогда (производная сложной функции).

Получили уравнение вида F(y, p, pp')=0. Теперь будем искать решение уравнения как p(y) (или же y(p), как получится).

Положим, что удалось отыскать решение p(y). Решение y(x) (или х(у)) получим, проинтегрировав уравнение .

Если же получили y(p):

В этом случае интегрируем уравнение вида . После интегрирования получим или y(x) (как y(p(x))), или же параметрическое решение y(p)&x(p).

3. Уравнения в точных производных.

Уравнение в точных производных - уравнение F(x, y, y', y'')=0, которое можно переписать как . Получим уравнение , которое можно решить методами, описанными выше.

IV. Уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение n-ого порядка - это уравнение, старшая производная в котором имеет порядок n:

Среди всех уравнений высших порядков отдельно выделяют линейные уравнения - это уравнения вида:

Если функция , то уравнение называется однородным

Методы решения линейных уравнений разработаны для случая, когда . Тем не менее, если это условие не выполняется, можно либо найти преобразование, которое сведет уравнение к требуемому виду, либо прибегнуть к численным методам.

Решение любого линейного уравнения начинается с поиска системы специальных функций (называемых базисными), называемой фундаментальной системой решений - ФСР.

Базисные функции должны удовлетворять следующим условиям:

• Их количество равно порядку уравнения.

• Каждая базисная функция - решение уравнения.

• Базисные функции линейно независимы.

Чтобы проверить базисные функции на соответствие последнему условию составлют специальный определитель, называемый определителем Вронского. Если этот определитель не равен тождественно нулю, то система функций линейно независима. Однако равенство нулю еще ни о чем не говорит. Определитель выглядит так:

где - функции, которые мы проверяем на линейную независимость.

Получив ФСР, можно сразу же выписать решение однородного уравнения - оно получается как линейная комбинация базисных функций ФСР.

Решение линейного неоднородного уравнения представимо в виде суммы решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения (этот факт доказывается в курсе дифференциальных уравнений).