Обчислення потрійного інтеграла у циліндричній системі координат
Розглянемо
окремий випадок – перехід від декартової
системи координат
до циліндричної системи координат.
В
циліндричній системі координат координати
точки
в просторі визначаються полярними
координатами
точки
– проекції
точки
на площину
і величиною відрізка
осі
:
.
Запис
означає, що точка
має циліндричні координати. Назва
‘‘циліндричні координати’’ пов’язана
з тим, що координатна поверхня
(тобто множина точок, які мають одну й
ту саму першу координату
)
є циліндром.
Перехід з декартових координат до циліндричних здійснюється за формулами, які набувають в цьому випадку вигляду:
Формули відображають область
на весь
простір
Якобіан переходу
;
модуль
якобіана
.
Тоді
Обчислення потрійного інтеграла у сферичній системі координат
Розглянемо ще один окремий випадок – перехід від декартової системи координат до сферичної системи координат.
В
сферичній системі координат координати
точки
в просторі визначаються відстанню
точки
до початку координат, кутом
– кутом, на який треба повернути вісь
у додатному напрямку, щоб вона збіглася
з променем
,
де точка
– проекція
точки
на площину
,
кутом
– кутом, який утворює відрізок
з віссю
.
Запис
означає, що точка
має сферичні координати. Назва ‘‘сферичні
координати’’ пов’язана з тим, що
координатна поверхня
(тобто множина точок, які мають одну й
ту саму першу координату
)
є сферою.
П
ерехід
з декартових координат до сферичних
здійснюється за формулами, які набувають
в цьому випадку вигляду:
Формули відображають область
на весь простір
Якобіан
модуль якобіана
.
Тоді
Властивості кратних інтегралів (подвійних і потрійних)
Властивість 1. Сталий множник можна виносити за знак кратного інтеграла:
;
.
Властивість 2. Кратний інтеграл від суми функцій дорівнює сумі кратних інтегралів від цих функцій:
;
.
Зауваження. Рівності 1 і 2 виражають властивість лінійності кратного інтеграла.
Властивість 3. (Адитивність кратного інтеграла).
Якщо область інтегрування функції розбити на дві області, які не мають спільних внутрішніх точок, то
,
(
)
.
(
)
Властивість 4. (Збереження знака підінтегральної функції кратним інтегралом).
Якщо в
області інтегрування
,
то
;
Властивість 5. (Монотонність кратного інтеграла).
Якщо
функції
і
визначені в одній і тій самій області
(
)
і
,
то
,
Властивість 6. (Оцінка кратного інтеграла по області).
Якщо
функція
неперервна в обмеженій замкненій
двовимірній (тривимірній) області
(
),
яка має площу
(об’єм
),
то
,
де
і
- найменше і найбільше значення функції
в області
(
)
відповідно.
Властивість
7. (Середнє значення функції).
Якщо функція
неперервна в замкненій обмеженій
двовимірній (тривимірній) області
(
),
яка має площу
(об’єм
),
то
в цій області існує така точка
(
),
що
,
де
– середнє значення функції
в двовимірній області
;
,
де
– середнє значення функції
в тривимірній області
.