Кратні інтеграли Теоретична частина Означення подвійного інтеграла

Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області , межа якої є гладкою або кусково-гладкою лінією. Розіб’ємо область довільним чином на часткових областей , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють , . Діаметром обмеженої області називається довжина найбільшої хорди, яка з'єднує дві довільні точки межі області .

Виберемо в кожній з цих областей довільну точку і обчислимо значення функції в цій точці: .

Побудуємо суму . Ця сума називається інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю області на частини і даному вибору проміжних точок .

Позначимо через максимальний із діаметрів часткових областей :

Скінчена границя інтегральної суми при , якщо вона існує і не залежить ні від розбиття області на часткові області, ні від вибору проміжних точок в них, називається подвійним інтегралом функції по області і позначається одним з символів

, або .

Отже, за означенням

.

Функція називається інтегрованою по області . Область називається областю інтегрування; змінні називаються змінними інтегрування, (або ) називаються елементом площі.

Достатня умова інтегрованості функції по двовимірній області. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області , то вона інтегрована по цій області, тобто існує подвійний інтеграл .

Обчислення подвійного інтеграла повторним інтегруванням.

Нехай функція неперервна і невід’ємна в області .

О значення. Область називається правильною у напрямі осі (осі ), якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі (осі ), перетинає межу області в двох точках.

1. Якщо область правильна у напрямі осі і проектується на вісь у відрізок , то її межа розбивається на дві лінії, які задаються рівняннями і . Тоді область задається системою нерівностей:

.

При такому заданні області подвійний інтеграл по цій області обчислюється за формулою:

Права частина формули називається повторним (двократним) інтегралом від функції . Інтеграл по називається внутрішнім, по – зовнішнім. У повторному інтегралі інтегрування спочатку виконується по змінній (при цьому змінна вважається сталою), а потім по змінній . Отже,

2 . Якщо область правильна у напрямі осі і проектується на вісь у відрізок , то її межа розбивається на дві лінії, які задаються рівняннями і . Тоді область задається системою нерівностей:

При такому заданні області подвійний інтеграл по цій області обчислюється за формулою:

У повторному інтегралі спочатку обчислюємо внутрішній інтеграл по змінній ( при цьому змінна вважається сталою), а потім – зовнішній по змінній . Отже,

.

Обчислення подвійного інтеграла у полярній системі координат.

Розглянемо окремий випадок – випадок переходу від декартової системи координат до полярної системи координат.

В полярній системі координат координати точки на площині визначаються полярним радіусом – відстанню від початку координат (полюса) до точки і полярним кутом – кутом між полярною віссю і променем, що містить полярний радіус. Запис означає, що точка має полярні координати.

Перехід з декартових координат до полярних здійснюється за формулами, які набувають в цьому випадку вигляду:

:

Якобіан :

,

модуль якобіана .

Тоді за формулою (3)

,

де область інтегрування задана в декартовій системі координат , а відповідна їй область задана в полярній системі координат .