Методические указания

Рассмотрим методику поиска кратчайшего пути на примере. Пусть имеется орграф, представленный на рисунке 1.

Рис. 1. Исходные данные к задаче в виде взвешенного орграфа

Приведенный граф может быть записан также в виде таблицы:

j i		Номера вершин
		1	2	3	4	5	6
Номера вершин	1		7	1
	2				4		1
	3		5			2	3
	4
	5		2		5
	6					3

Пусть необходимо найти кратчайший путь между вершинами 1 и 4.

Введем обозначение: С(Т) – длина кратчайшего пути из вершины 1 в вершину Т.

Оставленная задача состоит в вычислении С(4) и указании пути с минимальной стоимостью проезда.

Рассмотрим подробнее взвешенный орграф, представленный на рисунке 1.

В вершину 4 можно попасть либо из вершины 2, пройдя путь, равный 4,либо из вершины 5, пройдя путь, равный 5. Поэтому справедливо соотношение

Таким образом, проведена реструктуризация (упрощение) задачи – нахождение С(4) сведено к нахождению С(2) и С(5).

В вершину 5 можно попасть либо из вершины 3, пройдя путь, равный 2, либо из вершины 6, пройдя путь, равный 3. Поэтому справедливо соотношение .

В вершину 3 входит только одна стрелка, как раз из вершины 1, и около этой стрелки стоит ее длина, равная 1, следовательно С(3)=1.

Поэтому .

Поскольку очевидно, что С(6) – положительное число, то из последнего соотношения вытекает, что С(5)=3, то есть вычислять значение С(6) не имеет смысла, поскольку выражение С(6)+3 всегда будет больше 3.

В вершину 2 можно попасть либо из вершины 1, пройдя путь, равный 7, либо из вершины 3, пройдя путь, равный 5, либо из вершины 5, пройдя путь, равный 2. Поэтому справедливо соотношение

.

Очевидно, что С(1)=0. Нам известно, что С(3)=1, С(5)=3.

Поэтому

Теперь мы можем найти С(4):

Таким образом, длина кратчайшего пути равна 8. Из последнего соотношения ясно, что в вершину 4 надо идти через вершину 5. Возвращаясь к вычислению С(5), видим, что в вершину 5 надо идти через вершину 3. А в вершину 3 можно попасть только из вершины 1. Итак, кратчайший путь таков: 1→3→5→4.

Задача о кратчайшем пути для исходных данных полностью решена.