Пример теоретического отчета по теме:

Математический аппарат для решения задач оптимизации

Понятие математического программирования

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

1. задачи линейного программирования

2. задачи нелинейного программирования.

Если целевая функция и функция ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.

Задача линейного программирования

Линейное программирование – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» обозначает планирование, составление поэтапной программы действий., широко применяется для решения экономико-математических, управленческих, инженерных и других задач.

Термины «линейное программирование», «нелинейное программирование», «математическое программирование» и т.д. в научной и учебной литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены. Линейное программирование стало быстро развиваться после Второй мировой войны, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах, как управление и планирование производства; определение оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; определение оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); оптимальное распределение кадров и т.д.

Задача линейного программирования

Задача линейного программирования (ЗЛП), состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях. Общая форма задачи имеет вид: найти min cx при условиях:

a_ix-b_i≥0,i I₁,

a_ix-b_i=0, i I₂,

x_j≥0, j J₁,

где I₁ I₂ =1,…,m, I₁ I₂ =, J₁ 1,…,n, x = (x₁,…,x_n)^T,

c = (c₁,…,c_n), a = (a_i1,…, a_in), i = 1,…,m.

Здесь удобнее считать c и a_i вектор-строками,

а x и b = (b₁,…b_m)^T – вектор-столбцами.

Наряду с общей формой используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме:

J = 1,…n, все переменные в любом допустимом решении задачи должны принимать неотрицательные значения ( в отличие от так называемых свободных переменных, на область значений которых подобное ограничение не накладывается).

Задача линейного программирования в канонической форме:

w = cx min,

Ax = b,

x ≥ 0.

Задача линейного программирования в стандартной форме:

w = cx min,

Ax ≥ b,

x ≥ 0.

В обоих случаях A есть матрица размерности m×n, i-строка которой совпадает с вектором a_i.

ЗЛП в общей форме сводится к ЗЛП в канонической. Под этим понимается существование общего способа построения по исходной задаче новой ЗЛП (в нужной нам форме), любое оптимальное решение которой преобразуется в оптимальное решение исходной задачи и наоборот. Тем самым возможно, не теряя общности, заниматься изучением ЗЛП, представленных в канонической форме.