4. Методические указания к выполнению заданий

Задачи данного раздела составлены в соответствии с программой третьего семестра курса «Математика». Решения задач должны содержать все необходимые расчеты и пояснения. С учетом этого требования следует приводить, по возможности, краткие и четкие решения. При решении задач этого раздела следует использовать методы, описанные в учебно-методических пособиях «Типовые задачи базового уровня по математике с решениями» (части 3 и 4) [3]. В дальнейшем мы будем называть это пособие «Типовые задачи» и давать ссылки на его определенные разделы.

Задачи 1 – 8 составлены в соответствии с частью 3 данного учебно-методического пособия (раздел 2 «Введение в теорию вероятностей»). Задачи 1,2,3 соответствуют разделам 2.1 (Элементы комбинаторики) и 2.2 (Классическое определение вероятности) пособия «Типовые задачи», часть 3. Во всех этих задачах искомые вероятности определяются по классической формуле (раздел 2.2):

,

где - общее число элементарных исходов опыта, - число благоприятных элементарных исходов опыта. При вычислении числителя и знаменателя могут использоваться формулы комбинаторики (раздел 2.1).

Покажем в качестве примера возможный вариант оформления решения задачи 2. Пусть, например, номер варианта курсовой работы . Тогда один из возможных вариантов оформления решения может выглядеть следующим образом.

Задача 2. На один ряд, состоящий из 39 мест, случайно садятся 39 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.

Решение. Случайный эксперимент – рассаживание 39 учеников в один ряд. Элементарный исход – перестановка из 39 элементов. Общее число таких перестановок . Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1,2 и 3) окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет 37 вариантов своего размещения среди 39 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 37-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно . Остальные 36 учеников могут размещаться на оставшихся 36 местах числом способов, равным . Тогда число благоприятных элементарных исходов равно . Искомую вероятность определим по классической формуле:

Ответ: .

Следует отметить, что приведенный вариант оформления решения является лишь одним из возможных. Способ изложения решения, так же, как и используемые обозначения, могут быть различными – такими, к каким студенты привыкли при проведении практических занятий.

Задачи 4 и 5 соответствует разделам 2.5 (Формула полной вероятности) и 2.6 (формула Бейеса) пособия «Типовые задачи», часть 3, соответственно. При их решении можно использовать логику примеров 2.5.1 и 2.6.1 соответственно.

Задачи 6 и 7 соответствует разделу 3.1 (Дискретные случайные величины), а задача 8 – разделу 3.2 (Непрерывные случайные величины) пособия «Типовые задачи», часть 3. При их решении следует использовать логику различных примеров из указанных разделов.

Задачи 9 – 16 составлены в соответствии с разделом «Законы распределения случайных величин»: №9 – биномиальное распределение; №10 – геометрическое распределение; №11 – распределение Пуассона в простейшем потоке; №12 – распределение Пуассона как закон «редких явлений»; №13 – равномерное распределение; №14 – показательное распределение; №15 – нормальное распределение (характеристики); №16 – нормальное распределение (правило «трех сигм»). Для решения задач данного раздела следует использовать материал разделов 2.7 (формула Бернулли), 3.3 (нормальный закон распределения) и 3.4 (показательный закон распределения) учебно-методического пособия «Типовые задачи». Формула Бернулли используется при определении характеристик биномиального распределения (задача №9). Также следует использовать материал соответствующих разделов учебника «Теория вероятностей и математическая статистика» (автор В.Н. Калинина).

План решения задач 9-16 может быть следующим: вводится случайная величина; определяется ее закон распределения; по исходным данным определяются параметры этого закона; зная закон распределения, определяются все требуемые характеристики рассматриваемой случайной величины.

В качестве примера рассмотрим решение задачи 11. Пусть = 35. Тогда один из возможных вариантов оформления решения может выглядеть следующим образом.

Задача 11. К киоску в среднем за 35 минут приходит 1 покупатель. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 минуты к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 минуту.

Решение. Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к киоску за 2 минуты. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока: . Параметр распределения Пуассона: . Теперь, используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности: ; . По формуле Пуассона: .

Тогда

Теперь ; .

Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:

Ответ: а) 0,998; б) 0,056;

Задачи 17 и 18 составлены в соответствии с частью 4 учебно-методического пособия «Типовые задачи» (раздел 4 «Математическая статистика»). Для решения задачи 15 следует изучить примеры 4.1.1, 4.2.1 и 4.4.1. Для решения задачи 16 следует изучить примеры 4.1.3, 4.3.1 и 4.3.2.

Еще раз отметим, что при оформлении работы способ изложения решения, так же, как и используемые обозначения, могут быть различными – такими, к каким студенты привыкли при проведении практических занятий.