Задачи для самостоятельного решения

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность промаха?

2. Вероятность невозврата кредита клиентом банка равна 0,4. Какова вероятность возврата кредита?

3. В денежной лотерее при покупке одного билета можно выиграть:

1000 руб. – с вероятностью 0,1; 900 руб. – с вероятностью 0,3; 800 руб. – с вероятностью 0,6. Какова вероятность при покупке одного билета выиграть не менее 900 руб.?

1. Одновременно подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность одновременного появления на костях числа очков, равного трём?

2. В контейнере 12 годных и 3 бракованных детали. Сборщик берёт произвольно, по очереди, без возвращения, две детали. Какова вероятность того, что первая деталь будет годной, а вторая – бракованной?

3. В первой урне находятся 12 белых и 3 красных шара. Во второй урне находятся 7 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны берут по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара будут красными?

4. Интернет – магазин выполняет заявки трёх покупателей. Вероятность выполнения заявки первого покупателя известна и равна 0,93, второго покупателя – 0,96, третьего покупателя – 0,91. Какова вероятность выполнения заявок всех трёх покупателей?

5. Интернет – магазин выполняет заявки трёх покупателей. Вероятность выполнения заявки первого покупателя равна 0,92, второго покупателя – 0,95, третьего покупателя – 0,9. Какова вероятность выполнения заявок только двух покупателей?

6. Вероятность изготовления годной детали первым рабочим равна 0,9, а вторым рабочим – 0,7. Какова вероятность изготовления годных деталей первым и вторым рабочим?

7. Из колоды 36 карт вынимают произвольно две карты. Какова вероятность того, что вынутая первая карта будет «Туз», а вторая карта – «Дама»?

8. Студент знает 19 из 24 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные ему 3 вопроса.

9. Вероятность того, что в течение суток будет отказ канала передачи данных, равна 0,01. Какова вероятность, что в течение трёх суток отказа канала передачи данных не будет?

10. Вероятность возврата кредита первым клиентом банка известна и равна 0,85, а вторым – 0,75. Какова вероятность возврата кредита только одним клиентом банка?

11. Найти вероятность того, что при вынимании одной случайной карты из колоды 52 карт, получим карту масти «Черви» или карту масти треф.

12. На складе установлены два независимо работающих датчика. Вероятность срабатывания при пожаре первого датчика 0,98, а второго – 0,8. Какова вероятность срабатывания при пожаре ровно одного датчика?

2.4. Вероятность появления хотя бы одного события

Пример 2.4.1. Одновременно подбрасываются три монеты. Какова вероятность появления на них хотя бы одной «цифры»?

Решение. Обозначим события появление «цифры» хотя бы на одной из трёх монет; появление «цифры» на - ой монете ( ). , . Так как вероятность появления хотя бы одного случайного события в независимых испытаниях равна , то получим .

Пример 2.4.2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка , а второго – . Какова вероятность – хотя бы одного попадания в мишень?

Решение. Вероятность непопадания в мишень обоими стрелками по теореме умножения вероятностей будет равна

, поэтому .

Пример 2.4.3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трёх выстрелах равна 0,729. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

Решение. , где – вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трёх выстрелах; – вероятность промаха при одном выстреле; – вероятность попадания при одном выстреле. Поэтому , , откуда .

Пример 2.4.4. На складе установлены два независимых датчика – сигнализатора о пожаре. Вероятности срабатывания каждого датчика при пожаре известны и равны: и . Какова вероятность – не срабатывания при пожаре хотя бы одного датчика?

Решение. Вероятность срабатывания обоих датчиков равна . Поэтому требуемая вероятность противоположного события будет .

Пример 2.4.5. Банком выданы кредиты трём независимым клиентам. Вероятности возврата кредитов известны и равны: ; ; . Какова вероятность возврата кредита хотя бы одним клиентом банка?

Решение. , (сравните с решением примера 4.1).