2.2. Классическое определение вероятности
Пример 2.2.1. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков больше, чем 4?
Решение.
Случайный эксперимент – бросание
кубика. Элементарный исход – число на
выпавшей грани. Граней всего шесть.
Перечислим все элементарные исходы: 1,
2, 3, 4, 5, 6. Значит общее число элементарных
исходов
.
Событию
– выпало больше, чем 4 – благоприятствуют
два элементарных исхода: 5 и 6. Следовательно,
.
Согласно классическому определению
вероятности
.
Пример 2.2.2. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков.
Решение.
Элементарный исход в данном опыте –
упорядоченная пара чисел. Множество
элементарных исходов представим в виде
таблицы 1. Строки соответствуют результату
первого броска, столбцы – результату
второго броска. Всего элементарных
исходов
.
Таблица 1
-
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
В каждой клетке
таблицы запишем сумму выпавших очков.
Событию
– сумма выпавших очков равна 9 –
благоприятствуют 4 исхода. Следовательно,
.
Поэтому
.
Пример 2.2.3. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение.
Элементарный исход – случайно выбранный
аккумулятор. Поэтому
.
Событию
– аккумулятор исправен – благоприятствует
1000–6=994 исхода:
.
Тогда
.
Пример 2.2.4. Найти вероятность того, что при вынимании одной случайной карты из колоды 36 карт, получим карту «Туз» или карту масти черви.
Решение.
Элементарный
исход – случайно выбранная карта.
Поэтому
.
Событию
– карта туз или карта масти черви –
благоприятствует
исходов (9 карт масти черви и 3 туза
оставшихся мастей):
.
Тогда
.
Пример 2.2.5. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребёнок берёт карточки в случайном порядке и кладёт одну за другой.
Какова вероятность того, что получится слово «ТЕОРИЯ»?
Решение.
Пусть событие
– получение слова «ТЕОРИЯ». Различные
комбинации шести букв из имеющихся
различных шести представляют собой
перестановки, так как отличаются только
порядком следования букв. Поэтому общее
количество элементарных исходов
.
Событию
благоприятствует 1 исход. Поэтому
.
Пример 2.2.6. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребёнок выбирает произвольно 3 карточки и кладёт одну за другой. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?
Решение.
Пусть событие
– получение слова «ТОР». Комбинации
3-х букв из имеющихся шести представляют
размещения из 6 элементов по 3, так как
могут отличаться как составом входящих
букв, так и порядком их следования.
Поэтому общее количество элементарных
исходов
,
из которых событию
благоприятствует
.
Следовательно,
.
Пример 2.2.7. По условиям «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4,5 или 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6-ти видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 номеров; б) 4 номера.
Решение.
а) Пусть событие
– угаданы все 6 видов спорта из 45.
Количество элементарных исходов (всех
вариантов заполнения карточек спортлото)
,
т.к. каждый вариант заполнения отличается
лишь составом видов спорта (порядок
роли не играет). Число исходов,
благоприятствующих событию
,
есть
.
Поэтому,
.
б) Пусть событие
– угаданы 4 вида спорта из 6 выигравших.
Количество элементарных исходов
(см. (а)). Число способов выбора четырёх
видов спорта из шести выигравших равно
,
а двух невыигрышных –
.
Число исходов, благоприятствующих
событию В, равно
.
Поэтому,
.