Раздел второй. Введение в теорию вероятностей

2.1. Элементы комбинаторики

Пример 2.1.1. Вычислить .

Решение. Т.к. при , то .

Пример 2.1.2. Вычислить число перестановок из 4 элементов.

Решение. Т.к. , то .

Пример 2.1.3. Вычислить число размещений из 7 элементов по 2.

Решение. .

Пример 2.1. 4. Вычислить число сочетаний из 5 элементов по 32.

Решение. .

Пример 2.1.5. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 3-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена способами, 3-го сорта – способами. По правилу суммы существует способов извлечения одной детали 1-го или 3-го сорта.

Пример 2.1.6. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Председателем может быть выбран любой из участников, секретарём – любой из оставшихся . По правилу произведения число способов выбора председателя и секретаря равно .

Пример 2.1.7. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Поэтому число различных вариантов жеребьёвки равно .

Пример 2.1.8. Расписание одного дня состоит из 4 уроков различных дисциплин. Определить число вариантов расписания при выборе из 8 дисциплин.

Решение. Вариант расписания представляет набор 4 различных дисциплин из 8, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 8 элементов по 4.

Поэтому число вариантов равно .

Пример 2.1.9. На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано стартовых пятёрок?

Решение. При составлении стартовой пятёрки играет роль только её состав. Поэтому количество стартовых пятёрок равно числу сочетаний из 12 элементов по 5: .

Пример 2.1.10. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать 7 роз, чтобы среди них было 3 красные розы?

Решение. По условию задачи среди выбранных 7 цветов 4 белых и 3 красные розы. 4 белые розы можно выбрать способами, 3 красные – способами. Согласно правилу произведения извлечь 7 роз, среди которых 4 белых и 3 красные розы можно способами.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2. На блюде лежат 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?

3. В группе 15 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

4. Из города в город ведут 4 дороги, а из города в город - 3 дороги. Туристы хотят проехать из города в город через город . Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

5. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

6. Экзамен сдают 20 студентов. Сколько существует возможных вариантов их очерёдности?

7. Семь юношей, в число которых входят Петя и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Петя должен находиться в конце ряда; б) Петя должен находиться в конце ряда, а Игорь –

в начале ряда; в) Петя и Игорь должны стоять рядом?

8. Сколько можно составить шестизначных номеров телефона из 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если в каждом номере все цифры различны?

9. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами это можно сделать?

10. В вазе стоят 9 белых и 4 розовых тюльпана. Сколькими способами можно выбрать из вазы 5 цветов?

11. Бригада, занимающаяся ремонтом здания, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта цокольного этажа надо выделить 4 маляра и 2 плотников. Сколькими способами это можно сделать?

12. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд; б) Иванов и Петров должны остаться; в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?