Задачи для самостоятельного решения

1. Дискретная случайная величина принимает значения и с вероятностями и соответственно. Построить многоугольник распределения вероятностей и найти вероятности .

2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	0	3	6	8
	0,1	0,3	0,5	0,1

Найти математическое ожидание случайной величины и вероятности .

3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , закон распределения которой задан рядом

		0	1	4	8
		0,1	0,2	0,6	0,1

4. Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями Требуется построить график функции распределения F(х) случайной величины .

5. Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Требуется найти вероятности

6. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	– 2	– 1	0	2	3
	0,02	0,15	0,35	0,40	0,08

Требуется найти а) математическое ожидание случайной величины ; б) вероятности:

7. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	– 2	– 1	0	3	4
	0,02	0,14	0,36	0,40	0,08

Найти дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины и вероятности:

8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	– 0,1	0	1
	0,1	0,2	0,5	0,2

Требуется: а) найти значение числа , если ; б) построить график функции распределения вероятностей случайной величины .

9. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	– 2	–1	0		2
	0,05	0,25	0,4		0,1

Требуется найти значение числа , , дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , если .

10. Дискретная случайная величина задана рядом распределения вероятностей:

	– 2	0	2	5
	0,1	0,2

Требуется найти: а) , , если ; б) дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .

3.2. Непрерывная случайная величина

Пример 3.2.1. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:

1) Определите значение коэффициента . 2) Постройте график функции . 3) Найдите . 4) Найдите .

5) Найдите .

Решение. 1) Так как , то

Поэтому .

Рис. 3.2.1

2) На рис. 3.2.1 построен график функции при .

3) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства

.

Поэтому .

4)

. Полученная вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции и опирающейся на отрезок [0;1].

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .

Пример 3.2.2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) – функцию плотности распределения случайной величины ; 6) – математическое ожидание случайной величины ; 7) – дисперсию случайной величины ; 8) σ(Х) – среднеквадратическое отклонение случайной величины .

Решение. 1) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства . Поэтому .

2) По определению функции распределения имеем . Поэтому .

Или (второй способ решения):

.

3) События ( ) и ( ) – противоположны, а сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно,

.

Или (второй способ решения):

.

4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .

5) Согласно определению . Поэтому

6) По определению математическое ожидание случайной величины Х равно . Поэтому для рассматриваемой функции

.

7) Для нахождения дисперсии случайной величины Х воспользуемся формулой , где .

В нашем случае

.

Поэтому .

8) По определению . Поэтому .