Задачи для самостоятельного решения

1. В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. Вероятность попадания из пристрелянного орудия равна 0,7, из непристрелянного – 0,2. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность, что стреляли из непристрелянного орудия.

2. Магазин заключил договор на поставку картофеля с двумя базами. Первая база поставляет 2/3 всего картофеля и 80% продукции, поставляемой этой базой, высокого качества. Для второй базы этот показатель равен 60%. Найти вероятность того, что купленный высококачественный картофель поступил со второй базы.

3. В университете имеется экономический факультет, на котором есть 20 мест на бюджетной основе и 30 мест на платной основе. Абитуриент поступает в университет на бюджетной основе с вероятностью 0,4, на платной – с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный абитуриент поступил в университет. Какова вероятность того, что он поступал на бюджетной основе?

4. На заводе 30% продукции производится цехом № 1, 45% – цехом № 2, остальные 25% – цехом № 3. Цех № 1 даёт 0,5% брака всей производимой им продукции, цех № 2 – 1%, цех № 3 – 0,4%. Наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она была произведена цехом № 2?

5. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и экстремальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев, экстремальный – в 10%. Вероятность выхода из строя за определённый период равна 0,1 для нормального режима и 0,7 – для экстремального. Известно, что прибор вышел из строя. В каком режиме вероятнее он работал?

6. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 550 – на 2-м, и остальные – на 3-ем. Брак на 1-м заводе составляет в среднем 1%, на 2-м – 0,7% и на 3-ем –1,2%. Взятый наудачу подшипник оказался бракованным. На каком заводе вероятнее он изготовлен?

7. Три оператора экспериментальной установки производят соответственно 25%, 35% и 40% всех лабораторных измерений, при этом у первого оператора ошибочными оказываются 5% полученных данных, у второго – 4%, у третьего – 2%. При проверке произвольно выбранного измерения выявлена ошибка. Найти вероятность того, что эта ошибка допущена третьим оператором.

8. Производительность труда во второй половине дня падает полтора раза, а процент производственного брака возрастает вдвое. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. С какой вероятностью она изготовлена во второй половине дня?

2.7. Формула Бернулли

Пример 2.7.1. Вероятность попадания стрелком в мишень постоянна и равна 0,6. Какова вероятность четырёх попаданий при десяти выстрелах?

Решение. Так как вероятность попадания в мишень более 0,1, а число выстрелов мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли

, где – вероятность появления события в независимых испытаниях ровно раз, – вероятность попадания в мишень при одном выстреле, – вероятность непопадания в мишень при одном выстреле, число сочетаний из элементов по . Отсюда .

Пример 2.7.2. Вероятность прижиться для любого посаженного саженца постоянна и равна 0,3. Какова вероятность того, что из пяти посаженных саженцев приживутся только два?

Решение. Так как вероятность того что посаженный саженец приживётся постоянна и более 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли , откуда .

Пример 2.7.3. Вероятность того, что каждый автомобиль, продаваемый фирмой, требует предпродажной подготовки равна 0,2. Какова вероятность того, что из четырёх продаваемых фирмой автомобилей потребуют предпродажную подготовку все четыре автомобиля?

Решение. Так как в задаче имеет место схема опытов Бернулли, когда вероятность появления события А больше 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли . Тогда .

Пример 2.7.4. В тире стрелок делает пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,7. Какова вероятность, что при пяти выстрелах число попаданий окажется менее трёх?

Решение. В задаче имеет место схема опытов Бернулли. Поэтому вероятность того, что при пяти выстрелах число попаданий будет менее трёх, можно представить как , где

;

;

.

Отсюда .

Пример 2.7.5. Вероятность стрижки волос для каждого клиента парикмахерской постоянна и равна 0,4. Какова вероятность того, что из пяти

клиентов стрижку будет делать хотя бы один клиент?

Решение. Вероятность того, что хотя бы один клиент сделает стрижку волос и – вероятность того, что ни один из пяти клиентов не будет делать стрижку, есть два противоположных события, для которых , откуда , т. к. .