Типовые задачи базового уровня по математике с решениями часть третья

Учебное пособие под редакцией

профессора В.В.Лебедева

для студентов бакалавриата по направлениям:

«Менеджмент» 080 200

«Экономика» 080 100

«Государственное и муниципальное управление» 081 100

«Инноватика» 222 000

«Прикладная информатика» 230 700

«Реклама и связи с общественностью» 031 600

«Социология» 040 100

«Управление персоналом» 080 400

«Экология и природопользование» 022 000

МОСКВА 2013

УДК 517 (075.8)

ББК22.11Я73

Т56

Типовые задачи базового уровня по математике с решениями. Часть третья. Учебное пособие под ред. проф. В.В.Лебедева. М.: ООО «еТест», 2013. 32 с.

Авторы: д.э.н., проф. В.В.Лебедев, к.ф.-м.н., доцент Е.А.Губарева, к.э.н., доцент В.В.Григорьев, к.т.н., доцент А.П.Курочкин, к.ф.-м.н., доцент Е.Л.Нольде, доцент Паршикова Г.Ю., к.ф.-м.н., доцент Перфильев А.А.

Учебное пособие адресовано студентам Государственного университета управления всех направлений и форм обучения, изучающим математику на втором курсе. Оно содержит решения типовых задач базового уровня и задачи для самостоятельного решения из следующих разделов: «Элементы математического моделирования», «Введение в теорию вероятностей» и «Случайные величины». Пособие предназначено для использования на аудиторных занятиях и при самостоятельной работе студентов второго курса. Оно будет полезно также студентам старших курсов при подготовке к тестированию, направленному на проверку остаточных знаний по математике.

Для систематического изучения математики студентам ГУУ рекомендуется следующая литература: «Математика в экономике и управлении» (автор В.В. Лебедев; М. ‑ НВТ-Дизайн, 2004) и «Теория вероятностей и математическая статистика. Компьютерно-ориентированный курс. Учебник» (автор В.Н.Калинина; М. – Юрайт-Издат, 2013).

© В.В. Лебедев, 2013

© ООО «еТест»

ISBN

Содержание

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ……..……………. 4

1.1. Статические модели …..…………..…………………………… 4

1.2. Динамические модели ……….……..………………………… 6

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……..……………………………… 8

2.1. Элементы комбинаторики ……....………………………..…… 8

2.2. Классическое определение вероятности ……....……..…….. 10

2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ………..…... 13

2.4. Вероятность появления хотя бы одного события ..………… 16

2.5. Формула полной вероятности ……....……………………… 18

2.6. Формула Бейеса ……....…………..………………………..… 20

2.7. Формула Бернулли ……....………………………………..… 23

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ………………. 25

3.1. Дискретные случайные величины ..………..…………..……. 25

3.2. Непрерывные случайные величины …....…………………… 28

Раздел первый. Элементы математического моделирования

1.1. Статические модели

Пример 1.1.1. Заданы функции спроса и предложения , где – цена за единицу товара. При каком значении спрос равен предложению, если ?

Решение. Для нахождения точки равновесия надо решить уравнение , т. е : . Отсюда  д. ед.

Пример 1.1.2. Функция полных издержек имеет вид . Определить, при каком объеме выпуска средние издержки минимальны.

Решение. Средние издержки: . Из необходимого условия экстремума находим значение объема выпуска . Т. к. при , то точка определяет минимум функции средних издержек.

Пример 1.1.3. Функция спроса на выпускаемую продукцию определяется соотношением . Функция полных издержек монополии задается уравнением . Чему равна максимально возможная прибыль монополии?

Решение. Прибыль определяется как разность между доходом и полными издержками: . Функция спроса определяет цену, которую устанавливает монополист: . Составим уравнение функции прибыли: . Из необходимого условия экстремума находим значение объема выпуска . Так как , то найденное значение объема выпуска обеспечивает получение фирмой максимальной прибыли . При этом монополист продает товар по цене д.ед.

Пример 1.1.4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более  д. ед. Известно, что цены товаров равны  д. ед. и  д. ед. соответственно.

Решение. Если первый товар покупается в количестве единиц, а второй  в количестве единиц, то за покупку будет заплачено  д. ед., и эта сумма не может превышать  д. ед., а значит, бюджетное множество задается системой неравенств и представляет собой на плоскости треугольник , где и .

Пример 1.1.5. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид . Построить изокванту, соответствующую объему выпуска продукции  ед.

Решение. Изокванта – линия постоянного выпуска. Уравнение изокванты: . Возведем обе части уравнения в квадрат. получим или . График этой изокванты - часть гиперболы, расположенная в первой четверти.

Пример 1.1.6. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количествах x и y, задана соотношением . Цены этих товаров на рынке равны соответственно  д. ед. и  д. ед. При каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна?

Решение. Функция прибыли , где функций дохода , а функция полных издержек: . Выпишем необходимое условие экстремума функции двух переменных: . Таким образом, ‑ стационарная точка. Проверим достаточные условия максимума. Для этого вычислим: ; ; и . Следовательно, точка является точкой экстремума функции, а так как , то точка является точкой локального максимума. Имеем: .