Практическое занятие 5. Использование метода наименьших квадратов

Линеаризация данных.

Использование метода наименьших квадратов.

Задача 1.

Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела.

Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 1.

Таблица 1

n	M, Н · м	ε, c-1	M2	M · ε	ε – kM, 10-3	(ε - kM )2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

Решение:

1. Формула может быть представлена в виде формулы прямой, проходящей через начало координат: , где ; ; .

2. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум:

(1)

или

   (2)

3. По формуле (2) определяем:

4. Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (3):

(3)

где – n число измерений.

5. Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

Или

(4)

где Δx, Δy, Δz, ... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z.

По формуле (4) имеем:

6. Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку:

7. Результаты запишем в виде:

Задача 2.

Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону: R_t = R₀(1 + α t) = R₀ + R₀ α t. Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀. Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 2).

Таблица 2

n	t, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Решение:

1. Формула может быть представлена в виде формулы прямой: , где ; ; ; .

2. Используем формулы:

(5)

(6)

3. По формулам (5), (6) определяем:

4. Отсюда:

5. Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (4) имеем:

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны:

(7)

(8)

6. Пользуясь формулами (7), (8) имеем:

Тогда

7. Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n=6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку:

= 0.000338 град^-1.

α = (23 ± 4) 10^-4 град^-1 при P = 0.95.

Задача 3.

Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r_m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением:

r²_m = mλR - 2d₀R,

где d₀ – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

Пусть λ = (600 ± 6) нм; r²_m = y; m = x; λR = b; -2d₀R = a, тогда уравнение примет вид y = a + bx. Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 3.

Таблица 3

n	x = m	y = r2, 10-2 мм2	m -¯m	(m -¯m)2	(m -¯m)y	y - bx - a, 10-4	(y - bx - a)2, 10-6
1	1	6.101	-2.5	6.25		12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25		-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25		-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25		-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25		3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25		3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–

Решение:

1. Формула может быть представлена в виде формулы прямой: , где ; ; ; .

2. Определим a и b по формулам (5), (6):

3. Рассчитаем среднеквадратичные ошибки для величин b и a по формулам (7), (8):

4. При надежности P = 0.95 по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6 находим t = 2.57 и определяем абсолютные ошибки:

= 6·10^-4 мм²;

= 3· 10^-3 мм².

5. Записываем результаты:

b = (595 ± 6)·10^-4 мм² при Р = 0.95;

a = (0.3 ± 3)·10^-3 мм² при Р = 0.95.

6. Из полученных результатов опыта следует, что в пределах ошибки этого опыта прямая r²_m = ƒ(m) проходит через начало координат, т.к. если ошибка значения какого-либо параметра окажется сравнимой или превысит значение параметра, то это означает, что скорей всего, настоящее значение этого параметра равно нулю.

7. В условиях данного эксперимента величина   a  не представляет интереса. Поэтому мы ею больше заниматься не будем.

8. Подсчитаем радиус кривизны линзы:

R = b / λ = 595/ 6 = 99.1 мм.

9. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам:

Или

(9)

где   - частные производные функции N = ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;

δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов.

Так как для длины волны дана систематическая ошибка, подсчитаем и для R систематическую ошибку по формуле (9), взяв в качестве систематической ошибки величины b ее случайную ошибку Δb:

10. Записываем окончательный результат R = (99 ± 2) мм;   ε ≈ 2% при P = 0.95.

Таблица Стьюдента